5b. Электричество и магнетизм - Ричард Фейнман

Возьмем небольшой кусочек поверхности длиной Dx; и ши­риной Dу. На него действуют силы вследствие поверхностного натяжения вдоль каждого края. Сила на стороне 1 (см. фиг. 12.5) будет равна t1Dy и направлена по касательной к поверхности, т. е. под углом q1 к горизонтали. Вдоль стороны 2 сила будет равна t2Dy и направлена к поверхности под углом q2. (Подобные силы будут и на двух других сторонах кусочка, но мы пока забудем о них.) Результирующая сила от сторон 1 и 2, дей­ствующая на кусочек вверх, равна

Мы ограничимся рассмотрением малых искажений мембраны, т. е. малых изгибов и наклонов: тогда мы сможем заменить sinq на tgq и записать как дu/дx. Сила при этих условиях дается выражением

Величина в скобках может быть с тем же успехом записана (для малых Dx:) как

Фиг. 12.5. Поперечное сечение изогнутой пленки.

Тогда

Имеется и другой вклад в DF от сил на двух других сторо­нах; полный вклад, очевидно, равен

(12.16)

Искривления диафрагмы вызваны внешними силами. Пусть / означает направленную вверх силу на единичную площадку пленки (своего рода «давление»), возникающую от внешних сил. Если мембрана находится в равновесии (статический случай), то сила эта должна уравновешиваться только что вычисленной внутренней силой [уравнение (12.16)]. Иначе говоря,

Уравнение (12.16) тогда может быть записано в виде

(12.17)

где под знаком Смы теперь подразумеваем, конечно, двух­мерный оператор градиента (д/дх, д/ду). У нас есть дифферен­циальное уравнение, связывающее u(х, у) с приложенными си­лами f(x, у) и поверхностным натяжением пленки t(x, у), которое, вообще говоря, может меняться от места к месту. (Деформации трехмерного упругого тела тоже подчиняются таким уравнениям, но мы ограничимся двухмерным случаем.) Нас будет интересовать только случай, когда натяжение t постоянно по всей пленке. Тогда вместо (12.17) мы можем запи­сать

(12.18)

Снова мы получили такое же уравнение, как в электроста­тике! Но на сей раз оно относится к двум измерениям. Сме­щение u соответствует j, а f/t соответствует r/e0. Поэтому тот труд, который мы потратили на бесконечные заряженные плос­кости, или параллельные провода большой длины, или заряжен­ные цилиндры, пригодится для натянутой мембраны.

Предположим, мы подтягиваем мембрану в каких-то точках на определенную высоту, т. е. фиксируем величину и в ряде точек. В электрическом случае это аналогично заданию определенного потенциала в соответствующих местах. На­пример, мы можем устроить положительный «потенциал», если подопрем мембрану предметом, который имеет такое же сечение, как и соответствующий цилиндрический проводник. Если, скажем, мы подопрем мембрану круглым стержнем, поверхность примет форму, изображенную на фиг. 12.6.

Фиг. 12.6. Поперечное сечение натянутой рези­новой пленки, подпертой круглым стержнем.

Функция u(х, у) та же, что и потенциал j(х, у) от очень длинного заряженного стержня.

Высота и имеет такой же вид, как электростатический потенциал j заряженного цилиндрического стержня. Она спадает, как ln(1/r). (Наклон поверхности, который соответствует электри­ческому полю Е, спадает, как 1/r.)

Натянутую резиновую пленку часто использовали для ре­шения сложных электрических задач экспериментальным путем. Аналогия используется в обратную сторону! Для подъема мембраны на высоту, соответствующую потенциалам всего набора электродов, подставляют разные стержни и полоски. Затем измерения высоты дают электрический потенциал в электростатической задаче. Аналогия проводится даже еще дальше. Если на мембране поместить маленькие шарики, то их движение примерно схоже с движением электронов в соответ­ствующем электрическом поле. Таким способом можно воочию проследить за движением «электронов» по их траекториям. Этот метод был использован для проектирования сложной системы многих фотоумножительных трубок (таких, например, какие используются в сцинтилляционном счетчике или для управления передними фарами в автомашине кадиллак). Метод используется и до сих пор, но его точность не очень велика. Для более точных расчетов лучше находить поле чис­ленным путем с помощью больших электронных вычислитель­ных машин.

§ 4. Диффузия нейтронов; сферически-симметричный источник в однородной среде

Приведем еще один пример, дающий уравнение того же вида, но на сей раз относящееся к диффузии. В гл. 43 (вып. 4) мы рассмотрели диффузию ионов в однородном газе и диффузию одного газа сквозь другой. Теперь возьмем другой пример — диффузию нейтронов в материале типа графита. Мы выбрали графит (разновидность чистого углерода), потому что углерод не поглощает медленных нейтронов. Нейтроны путешествуют в нем свободно. Они проходят по прямой в среднем несколько сантиметров, прежде чем рассеются ядром и отклонятся в сто­рону. Так что если у нас есть большой кусок графита толщи­ной в несколько метров, то нейтроны, находившиеся сначала в одном месте, будут переходить в другие места.

Фиг. 12.7. Нейтроны рождаются однородно внутри сферы радиуса а в большом графитовом блоке и диффундируют наружу. Плотность нейтронов N получена как функция r, расстояния от центра источника.

Справа показана электростатическая аналогия: однородно заряженная сфе­ра, причем N соответствует j, а J соответствует Е.

Мы опишем их усредненное поведение, т. е. их средний поток.

Пусть N(x, у, z)DV — число нейтронов в элементе объема DV в точке (х, у, г). Движение нейтронов приводит к тому, что одни покидают DV, а другие попадают в него. Если в одной области оказывается нейтронов больше, чем в соседней, то от­туда их будет переходить во вторую область больше, чем наобо­рот; в результате возникнет поток. Повторяя доказательства, приведенные в гл. 43 (вып. 4), можно описать поток вектором потока J. Его компонента Jxесть результирующее число ней­тронов, проходящих в единицу времени через единичную пло­щадку, перпендикулярную оси х. Мы получим тогда

(12.19)

где коэффициент диффузии D дается в терминах средней ско­рости v и средней длины свободного пробега l между столкно­вениями:

Векторное уравнение для J имеет вид

(12.20)

Скорость, с которой нейтроны проходят через некоторый элемент поверхности da, равна J·nda (где n, как обычно,— единичный вектор нормали). Результирующий поток из эле­мента объема тогда равен (пользуясь обычным гауссовым доказательством) С·JdV. Этот поток приводил бы к уменьше­нию числа нейтронов в DV, если нейтроны не генерируются внутри DV (с помощью какой-нибудь ядерной реакции). Если в объеме присутствуют источники, производящие S нейтронов в единицу времени в единице объема, то результирующий поток из DV будет равен [S-(dNIdt)]DV. Тогда получаем

(12.21)

Комбинируя (12.21) и (12.20), получаем уравнение диффузии нейтронов

(12.22)

В статическом случае, когда dN/dt=0, мы снова имеем урав­нение (12.4)! Мы можем воспользоваться нашими знаниями в электростатике для решения задач по диффузии нейтронов. Давайте же решим какую-нибудь задачу. (Пожалуй, вы недо­умеваете: зачем решать новую задачу, если мы уже решили все задачи в электростатике? На этот раз мы можем решить быстрее именно потому, что электростатические задачи дей­ствительно уже решены!)

Пусть имеется блок материала, в котором нейтроны (ска­жем, за счет деления урана) рождаются равномерно в сфери­ческой области радиусом а (фиг. 12.7). Мы хотели бы узнать, чему равна плотность нейтронов повсюду? Насколько однород­на плотность нейтронов в области, где они рождаются? Чему равно отношение нейтронной плотности в центре к нейтронной плотности на поверхности области рождения? Ответы найти легко. Плотность нейтронов в источнике S0стоит вместо плот­ности зарядов r, поэтому наша задача такая же, как задача об однородно заряженной сфере. Найти N—все равно, что найти потенциал j. Мы уже нашли поля внутри и вне однородно заряженной сферы; для получения потенциала мы можем их проинтегрировать. Вне сферы потенциал равен Q/4pe0r, где полный заряд Q дается отношением 4pа3r/3. Следовательно,