История с узелками - Льюис Кэрролл

При иной связи результата с исходными данными тройное правило перестает действовать и задача нередко становится чрезвычайно сложной.

Приведем несколько примеров. Предположим, что на конкурсном экзамене по французскому, немецкому и итальянскому языку за право получать некую стипендию борются два кандидата: А и В.

а. Согласно правилам, которыми руководствуется экзаменационная комиссия, результат экзамена зависит от относительного уровня знаний кандидатов по каждому языку. Это означает, что независимо от того, получит ли А по французскому языку 1, а В — 2 или же А получит 100, а В — 200, результат экзамена будет одним и тем же. Кроме того, правилами предусмотрено, что если по двум языкам оба кандидата получат одинаковые оценки, то их общие оценки должны находиться одна к другой в таком же отношении, в каком находятся оценки, полученные кандидатами по третьему языку. При этих условиях исход экзамена удовлетворяет тройному правилу. Дабы получить окончательное представление о шансах кандидатов на стипендию, мы должны перемножить 3 оценки, полученные А, и сравнить произведение с произведением очков, набранных В. Обратите внимание на то, что если А получит хоть один «нуль», то его итоговой оценкой также будет «нуль», даже если по двум остальным языкам он получит наивысший балл, а В выйдет в победители, набрав всего лишь по одному очку за каждый язык. Разумеется, А оказывается в очень невыгодном положении, хотя решение комиссии будет абсолютно правильным с точки зрения существующих правил.

б. Результат экзамена, как и прежде, зависит от относительного уровня знаний кандидатов, но оценку по французскому языку по новым правилам при выведении общей оценки надлежит учитывать с вдвое большим весом, нежели оценки по немецкому или итальянскому языку. Поскольку такая постановка задачи необычна, я сформулирую ее еще раз несколько подробнее. Итоговая оценка по новым правилам должна быть ближе к отношению оценок за французский язык, чем в случае а, причем ближе настолько, что для получения итоговой оценки, выведенной комиссией в случае а, каждый из сомножителей, отвечающих относительному уровню знаний кандидатов по немецкому и итальянскому языкам, надлежит возвести в квадрат. Например, если относительный уровень знания кандидатами французского языка оценен в 9/10, а двух других языков — в 4/9 и 1/9, то итоговая оценка, вычисляемая по методу а, была бы равна 2/45, а по методу б — 1/5, то есть ближе к 9/10, чем 2/45. При вычислении итоговой оценки по методу б я извлек из 4/9 и 1/9 квадратный корень, то есть «учел» их с вдвое меньшим весом по сравнению с оценкой за французский язык.

в. Результат экзамена должен зависеть не от относительного, а от абсолютного уровня знаний каждого кандидата и оцениваться по сумме баллов, полученных по всем трем языкам. Здесь мы должны остановиться и уточнить правила, задав целый ряд вопросов.

1) Что принять за единицу измерения («эталон») знаний по каждому языку?

2) Должны ли все эти единицы иметь одинаковое или различное значение при выводе общей оценки за экзамен?

Обычно за «эталон» знаний принимается умение правильно ответить на все вопросы экзаменационного билета. Если эту высшую оценку принять, например, за 100, то все остальные оценки будут колебаться между 0 и 100. В предположении, что все единицы равны, мы найдем общую оценку за экзамен для A и В, сложив баллы, полученные каждым из кандидатов за французский, немецкий и итальянский языки.

г. Условия те же, что и в случае в, но с одним изменением: оценку по французскому языку при выводе окончательной оценки надлежит засчитывать с удвоенным весом. В этом случае, прежде чем подсчитывать сумму баллов, необходимо сначала еще умножить оценку по французскому языку на 2.

д. Оценку по французскому языку при выводе итоговой оценки надлежит брать таким образом, чтобы при одинаковых оценках по немецкому и итальянскому языкам итоговая оценка совпадала с оценкой по французскому (таким образом, нуль по французскому означает, что получивший его кандидат окончательно выбывает из игры). При различных оценках по немецкому и итальянскому языкам они обе должны влиять на окончательный итог экзамена лишь в сумме, каждая — в той же мере, что и другая. В этом случае я бы сложил оценки, полученные, например, А по немецкому и итальянскому языкам, а сумму умножил на оценку по французскому языку.

Вряд ли нужно продолжать примеры: данную задачу, очевидно, можно формулировать по-разному и каждый тип условий требует своего метода решения. Задача из узелка VI по замыслу автора должна была принадлежать к классу а. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, я специально вложил в уста губернатора следующие слова: «Обычно участницы конкурса расходились лишь по одному из трех пунктов. Например, в прошлом году Фифи и Гого в течение испытательного срока — недели — успели связать одинаковое количество одинаково легких шарфов, но шарфы, связанные Фифи, оказались вдвое теплее, чем шарфы, связанные Гого, поэтому Фифи и сочли вдвое лучшей вязальщицей, чем Гого».

Узелок VII

Задача.

Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоят 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоят 1 шиллинг 5 пенсов. Найти, сколько стоят: 1) стакан лимонада, бутерброд и бисквит; 2) 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов.

Ответ.

1) 8 пенсов; 2) 1 шиллинг 7 пенсов.

Решение.

Эту задачу лучше всего решать алгебраически. Пусть x — стоимость (в пенсах) одного стакана лимонада, у — стоимость бутерброда и z — бисквита. Тогда по условию задачи x + 3y + 7z = 14 и x + 4y + 10z = 17. Требуется вычислить, чему равны x + y + z и 2x + 3y + 5z. Располагая лишь двумя уравнениями, мы не можем найти значения каждого из трех неизвестных в отдельности, но вычислить значения некоторых комбинаций неизвестных в наших силах. Известно также, что с помощью двух данных уравнений мы можем исключить два из трех неизвестных, после чего искомые выражения будут зависеть лишь от одного неизвестного. Значения искомых выражений могут быть вычислены лишь в том случае, если единственное неизвестное, оставшееся неисключенным, само собой уничтожается. В противном случае задача не имеет решения.

Исключим лимонад и бутерброды и сведем все к бисквитам — ситуации еще более удручающей, нежели та, о которой говорится в проникновенных строках:

Ну, скажи на милость,Кто бы думать мог?Все вдруг превратилосьВ яблочный пирог.

Для этого вычтем первое уравнение из второго, исключив тем самым лимонад, и получим y + 3z = 3. Подставляя у = 3 – 3z в первое уравнение, найдем: х – 2z = 5, или, что то же, х = 5 + 2z. Если теперь мы подставим выражения для х и у в те выражения, значения которых нам необходимо вычислить, то первое из них превратится в (5 + 2z) + (3 – 3z) + z = 8, a второе — в 2(5 + 2z) + 3(3 – 3z) + 5z = 19. Следовательно, стоимость первого набора составляет 8 пенсов, а второго — 1 шиллинг 7 пенсов.

Изложенный нами метод универсален. Иными словами, он абсолютно во всех случаях позволяет либо получить ответ, либо доказать, что решения не существует. Разумеется, следовать ему отнюдь не обязательно. Искомые величины можно, например, найти, комбинируя величины, значения которых известны. Такой способ решения требует лишь остроумия и известного «везения». Я не могу оценивать его столь же высоко, как и универсальный метод, поскольку он не гарантирует от неудач даже в том случае, когда решение существует, и оказывается совершенно бесполезным, когда требуется доказать, что задача не имеет решения. Кроме того, составление нужных комбинаций, даже если оно и приводит к успеху, может оказаться довольно утомительным занятием.

Здесь мне хочется остановиться подробно на разборе одного из присланных решений, принадлежащего читателю, скрывающемуся под псевдонимом Бальбус, ибо речь пойдет о вещах, достаточно важных для всех читателей.

Бальбус решил считать стоимость любого завтрака окончательно установленной лишь в том случае, если «два разных предположения приводят к одинаковой сумме» (израсходованной на завтрак). Приняв два предположения — согласно первому бутерброд ничего не стоит, согласно второму бисквит выдается в виде бесплатного приложения к лимонаду и бутербродам (если бы хоть одно из этих предположений соответствовало действительности, в кондитерскую нельзя было бы пробиться!), — Бальбус получает, что завтрак Клары стоил 8 пенсов, а завтрак старушек — 19 пенсов независимо от принятой гипотезы. Отсюда в соответствии со своим правилом Бальбус заключил, что «обнаруженное совпадение доказывает правильность полученных результатов». Я опровергну правило Бальбуса, указав всего лишь один пример, в котором это правило нарушается. Для того чтобы опровергнуть любое утверждение, одного противоречащего примера вполне достаточно. Если воспользоваться специальной логической терминологией, то можно сказать, что для опровержения общеутвердительного суждения достаточно опровергнуть противоположное ему частноотрицательное суждение. (Здесь необходимо остановиться и совершить небольшой экскурс в логику вообще и в женскую логику в частности. Общеутвердительное суждение «Все говорят, что такой-то и такой-то — мокрая курица» мгновенно опровергается доказательством истинности частноотрицательного суждения «Питер говорит, что такой-то и такой-то — гусь лапчатый», эквивалентного суждению «Питер не говорит, что такой-то и такой-то — мокрая курица». Общеотрицательное суждение «Никто не бывает у нее» великолепно парируется частноутвердительным суждением «Я был у нее вчера». Короче говоря, любое из двух противоположных суждений опровергает другое. Отсюда мораль: поскольку доказать частное суждение гораздо легче, чем общее, в разговоре с дамой разумно ограничивать собственные высказывания частными суждениями, предоставляя своей собеседнице доказывать, если это в ее силах, общие суждения. Тем самым вы всегда сможете обеспечить себе логическую победу. Особенно рассчитывать на то, что вам практически удастся одержать верх над вашей собеседницей, не следует, поскольку она всегда может отступить, сделав обескураживающее заявление: «Это к делу не относится!» Ни одному мужчине еще не удавалось удовлетворительным образом парировать подобный ход. А теперь вернемся к Бальбусу.) Частноотрицательное суждение, на котором я хочу проверить его правило, можно сформулировать так. Предположим, что два счета за завтрак гласят: «2 булочки с изюмом, 1 пирожок, 2 сосиски и бутылка лимонада. Итого: 1 шиллинг 9 пенсов» и «1 булочка с изюмом, 2 пирожка, 1 сосиска и бутылка лимонада. Итого: 1 шиллинг 4 пенса». Предположим также, что Клара заказала себе на завтрак 3 булочки с изюмом, 1 пирожок, 1 сосиску и 2 бутылки лимонада, а две сестры-старушки довольствовались 8 булочками с изюмом, 4 пирожками, 2 сосисками и 6 бутылками лимонада (бедняжки, как им захотелось пить!). Если Бальбус любезно согласится испытать свое правило «двух разных предположений» на этом «суждении» и предположит сначала, что булочка с изюмом стоит 1 пенс, а пирожок 2 пенса, а затем — что булочка с изюмом и пирожок стоят по 3 пенса, то за первый счет ему придется «уплатить» 1 шиллинг 9 пенсов, а за второй — 4 шиллинга 10 пенсов независимо от предположения. Полное согласие результатов, скажет он, «доказывает их правильность». Между тем булочка с изюмом в действительности стоила 2 пенса, пирожок — 3 пенса, сосиска — 6 пенсов, а бутылка лимонада — 2 пенса. Поэтому третий завтрак обошелся Кларе в 1 шиллинг 7 пенсов, а ее умирающим от жажды приятельницам в 4 шиллинга 4 пенса!