История с узелками - Льюис Кэрролл

Задача об определении веса мешков, как ясно с первого взгляда любому алгебраисту, сводится к решению системы линейных уравнений. Однако она без труда решается и с помощью одной лишь арифметики, и поэтому использование более сложных методов я считаю дурным тоном.

Узелок V

Задача.

Требуется поставить 3 крестика двум или трем картинам, 2 крестика четырем или пяти картинам и один крестик — девяти или десяти картинам, отмечая одновременно тремя ноликами 1 или 2 картины, двумя ноликами 3 или 4 картины и одним ноликом 8 или 9 картин так, чтобы число картин, получивших оценки, было наименьшим из возможных, а отмеченные картины получили как можно большее число оценок.

Ответ.

10 картин получают 29 оценок, распределенных следующим образом:

Решение.

Расставив все крестики и заключив в скобки те из них, которые по условиям задачи необязательны, мы получим 10 картин, оценки которых распределены так:

Расставив все нули, но не от начала к концу, как крестики, а в обратном направлении — от конца к началу, мы получим 9 картин с оценками, распределенными так:

Единственное, что еще необходимо сделать после этого, — вдвинуть оба клина как можно плотнее друг в друга, чтобы число отмеченных картин было минимальным. Если та или иная необязательная оценка мешает нам загонять клин в клин, мы ее стираем, если же не мешает — оставляем в целости и сохранности. В первом и третьем рядах оказывается по 10 обязательных оценок, а в середине — лишь 7. Следовательно, необходимо стереть все необязательные оценки в первом и третьем рядах обоих клиньев и оставить все необязательные оценки, стоящие в середине.

Узелок VI

Задача 1.

В начале года у каждого из братьев А и В было по 1000 фунтов стерлингов. Через год братья в своем письме губернатору Кговджни уведомляют его, что в день отправления письма они, как никогда, близки к 60 000 фунтов стерлингов. Каким образом им это удалось?

Решение.

В день отправления письма братья впервые решили прогуляться близ Английского банка, в подвалах которого хранилась указанная сумма.

На эту задачу было получено два в высшей степени замечательных ответа. Читатель, у которого Сумбур в голове (это его псевдоним), заставил братьев занять 0 пенсов и украсть 0 пенсов, а затем приписать обе «добытые» цифры справа от 1000 фунтов. В результате столь невинной операции у братьев оказывается 100 000 фунтов, что значительно превышает те 60 000, о которых идет речь в задаче. At Spes Infracta[6] нашел еще более остроумное решение: пользуясь взятым взаймы нулем, этот читатель превращает 1, с которой начинается 1000 фунтов одного брата, в 9, прибавляет «добычу» к исходной 1000 фунтов другого брата, получая в результате 10 000 фунтов. С помощью «украденного» нуля At Spes Infracta превращает 1 в 6 и тем самым достигает требуемой в условии задачи суммы в 60 000 фунтов.

Задача 2.

Лоло (Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими (М) вяжет 2. Зузу (З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу а один шарф Лоло — как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивать одинаково?

Ответ.

Места на конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2) Л, 3) З.

Решение.

При прочих равных условиях Л превосходит М по быстроте вязки в 5/2 раза, а З превосходит Л в 4/3 раза. Чтобы найти 3 числа, удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л (ибо Л непосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, М и З оценивается числами 1, 2/3 и 4/3.

Для оценки легкости шарфа следует иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов З относится к качеству шарфов Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, М и З получают оценки 1/5,5/3 и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, М и З вязать теплые шарфы: 3, 1 и 1/4. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножить три оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками М и З. В итоге мы получим: 1×1/5×3, 2/5×5/3×1, 4/3×1×1/4 то есть 3/5, 2/3 и 1/3. Умножив все три числа на 15 (отчего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9, 10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Л и, наконец, З.

Почему оценки претенденток надлежит именно перемножать, а не складывать, подробно объясняется, во многих учебниках, и я не буду занимать здесь место повторением избитых истин. Однако проиллюстрировать необходимость умножения можно очень легко на примере длины, ширины и глубины. Представим себе, что два землекопа А и В пожелали узнать, кто из них более искусен в своем ремесле. Оба копают ямы в форме прямоугольного параллелепипеда. Количество проделанной работы измеряется числом кубических футов вынутой земли. Предположим, что А выкопал яму длиной 10, шириной 10 и глубиной 2 фута, а В выкопал яму длиной 6, шириной 5 и глубиной 10 футов. Объем первой ямы равен 200, а второй — 300 кубическим футам. Следовательно, B справляется со своим делом в 3/2 раза лучше, чем А. А теперь попробуйте оценить по десятибалльной системе длину, ширину и глубину каждой из ям, а затем сложить оценки. Что у вас получится?

Некоторые письма, полученные в связи с узелком VI, навели меня на мысль о желательности дополнительных объяснений.

Первая задача, разумеется, не более чем шутка, основанная на игре слов. Я считал, что подобная вольность вполне допустима в серии задач, призванной не столько поучать, сколько развлекать. Однако двое моих корреспондентов, полагающих, что Аполлон должен всегда быть начеку и не ослаблять тетивы своего разящего лука, обрушились на задачку о 60 000 фунтов стерлингов с уничтожающей критикой. Кстати сказать, ни один из них не смог решить задачу, но такова уж человеческая натура.

Как-то раз (для желающих я могу назвать точную дату: 31 сентября) я встретил своего старого друга Брауна и загадал ему только что услышанную загадку. Мощным усилием своего колоссального интеллекта Браун разгадал ее. «Правильно!» — сказал я, услышав ответ. «Очень хорошая загадка, — похвалил меня Браун, — не всякий ее разгадает. Нет, что и говорить, загадка — просто прелесть!» Не успел я распрощаться с Брауном, как через несколько шагов налетел на Смита и задал ему ту же загадку. Тот на минуту наморщил лоб, а потом махнул рукой. Дрожащим голосом я робко пролепетал ответ. «Дурацкая загадка, сэр! — недовольно проворчал Смит на прощание. — Глупее не придумаешь! Удивляюсь, как вы решаетесь повторять подобную чепуху!» Тем не менее есть все основания считать, что Смит по уму не только не уступает Брауну, но и, быть может, даже превосходит его!

Вторая задача представляет собой пример на обычное тройное правило. Сущность его сводится к следующему. Результат зависит от нескольких изменяющихся параметров, которые связаны между собой так, что если бы все параметры, кроме одного, имели постоянные значения, то результат изменялся бы пропорционально параметру, оставшемуся свободным; поскольку варьируются все параметры, то результат изменяется пропорционально их произведению. Так, например, объем ямы, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда при постоянной длине и ширине, изменяется пропорционально глубине ямы, а при переменной длине, ширине и глубине — пропорционально произведению всех трех измерений.

При иной связи результата с исходными данными тройное правило перестает действовать и задача нередко становится чрезвычайно сложной.

Приведем несколько примеров. Предположим, что на конкурсном экзамене по французскому, немецкому и итальянскому языку за право получать некую стипендию борются два кандидата: А и В.

а. Согласно правилам, которыми руководствуется экзаменационная комиссия, результат экзамена зависит от относительного уровня знаний кандидатов по каждому языку. Это означает, что независимо от того, получит ли А по французскому языку 1, а В — 2 или же А получит 100, а В — 200, результат экзамена будет одним и тем же. Кроме того, правилами предусмотрено, что если по двум языкам оба кандидата получат одинаковые оценки, то их общие оценки должны находиться одна к другой в таком же отношении, в каком находятся оценки, полученные кандидатами по третьему языку. При этих условиях исход экзамена удовлетворяет тройному правилу. Дабы получить окончательное представление о шансах кандидатов на стипендию, мы должны перемножить 3 оценки, полученные А, и сравнить произведение с произведением очков, набранных В. Обратите внимание на то, что если А получит хоть один «нуль», то его итоговой оценкой также будет «нуль», даже если по двум остальным языкам он получит наивысший балл, а В выйдет в победители, набрав всего лишь по одному очку за каждый язык. Разумеется, А оказывается в очень невыгодном положении, хотя решение комиссии будет абсолютно правильным с точки зрения существующих правил.