Алиса в стране математики - Лев Генденштейн

— Ещё не совсем, — честно призналась Алиса.

— Ты просто ещё не поняла, что уже поняла, — объяснил Король. — Половина, четверть, одна треть, две трети, одна шестая — это все дробные числа.

— Благодаря этим числам ты можешь делить теперь любое число на любое, — небрежно заметил Единорог.

— Не на любое, — вмешался вдруг Лев. — Вот тут уж я действительно готов вести смертный бой!

— Не надо, старина, — остановил его Единорог. — Ты прав: нельзя делить на нуль!

— Даже если очень захочется, — добавил Лев.

— Я не буду делить на нуль, — пообещала Алиса. — А на все остальные числа делить можно?

— Можно, — ответил Король.

— Делить можно, а делиться нужно! — заметил Единорог и выразительно посмотрел на «львиные» две трети яблока в руках у Алисы.

Алиса протянула Единорогу одну треть яблока и с беспокойством посмотрела на Шалтая-Болтая.

— Его надо поскорее собрать! — озабоченно сказала она.

— Сейчас мы соберём его все вместе! — воскликнул Король. — Раз единицу можно делить на сколько угодно частей, работа найдётся каждому...

— Не надо делить Шалтая-Болтая на сколько угодно частей! — взмолилась Алиса. — Давайте я соберу его сама.

— Хорошо, — подумав, согласился Король. — И за это ты получишь награду!

— Не нужна мне никакая награда, — сказала Алиса, — пусть только ваши воины уйдут с площади, чтобы я могла собрать Шалтая-Болтая!

— От королевских наград не отказываются! — обиженно заявил Король.

— А какая награда? — поинтересовалась Алиса.

— Большой шоколадный торт с орехами, — торжественно произнёс Король.

— От такой награды отказаться трудно! — признала Алиса.

— Только давай так, — сказал Король, — если ты сама не сможешь собрать Шалтая-Болтая, тогда ты мне дашь шоколадный торт!

— Где же я его возьму? — развела руками Алиса.

— Где хочешь, — сказал Король. — Иначе я не согласен.

— Что же делать? — с тревогой подумала Алиса. — Они вот-вот растопчут бедного Шалтая-Болтая!

— Хорошо, я согласна! — решилась она.

Король подал знак, но на площади скопилось так много воинов, что они не могли развернуться, и поэтому им пришлось уходить задом-наперёд. Из-за этого Алисе показалось, будто время потекло вспять.

— Вот если бы всё так и шло в обратном порядке до того момента, когда Шалтай-Болтай был ещё цел! — подумала она. — Но только побыстрее...

И сразу же движение воинов ускорилось; через минуту войско, пятясь, замаршировало по улице; за войском, тоже задом-наперёд, гордо шли барабанщики с высоко поднятыми головами — барабанная дробь слилась в сплошной треск. За барабанщиками бегом пятились Лев и Единорог, а последним ехал Белый Король: он величественно держался в седле, а конь его бежал задом-наперёд, перебирая стройными ногами.

Не успела Алиса опомниться, как площадь опустела — возле Шалтая-Болтая остались только всадник и те два воина, которые появились первыми. Всадник что-то пискнул на непонятном языке («в его словах все звуки тоже наоборот!» — догадалась Алиса), и, двигаясь задом-наперед, всадник и воины умчались с площади.

В следующую секунду неведомая сила потащила Алису в бассейн, окунула в воду и подбросила на вершину струи фонтана. Ещё мгновение — и Алиса, совершенно сухая, взлетела со струи вверх и стала подниматься все выше и выше.

Сверху она увидела, как со всей площади к Шалтаю-Болтаю начали слетаться кусочки скорлупы, и вот уже он, целый и невредимый (и даже спящий!) полетел вверх, вслед за Алисой.

— Стоп! — крикнула Алиса. — Теперь снова вниз, но пусть никто из нас не разобьётся!

На этот раз оба — Шалтай-Болтай и Алиса — упали в фонтан: Шалтай-Болтай попал на струю, а Алиса упала в бассейн.

— Где я?! — завопил Шалтай-Болтай, сразу проснувшись.

— Прыгайте в бассейн! — крикнула снизу Алиса. — Вы не разобьётесь!

Шалтай-Болтай прокатился по верхушке струи и плюхнулся вниз, подняв тучу брызг. Алиса схватила его за руку, и они выбрались из воды.

Посмотрев в ту сторону, куда ушла королевская рать, Алиса увидела Короля. На этот раз он шёл пешком, а за ним в две шеренги по четыре в ряд вышагивали поварята в больших белых колпаках.

— Теперь у Короля совсем другая рать, — подумала Алиса.

Король подошел к Шалтаю-Болтаю и внимательно его осмотрел. Тот, скосив глаза, с подозрением следил за Королём.

— Ни одной трещинки! — произнёс, наконец, Король и дружески похлопал Шалтая-Болтая по плечу (или по щеке?).

Неизвестно, понравилось это Шалтаю-Болтаю или нет, но он тут же побежал к стене, идущей вдоль одной стороны площади, и, высоко подпрыгнув, уселся на стене, скрестив ножки по-турецки.

— Неплохо, — одобрительно отозвался Король, проследив взглядом за Шалтаем-Болтаем.

Алиса тоже посмотрела в ту сторону, и ей бросилось в глаза, что стена увита плющом с огромными листьями — листья были в половину её роста. А, кроме того, она увидела, что Шалтай-Болтай превратился в нуль!

— А где же другие числа? — почему-то подумала Алиса и тут же увидела их: справа от нуля вдоль стены на равных расстояниях друг от друга стояли красивые цифры 1, 2, 3, 4... — Алиса сразу узнала натуральный ряд!

А посмотрев вдоль стены влево, Алиса увидела те же числа. Но они стояли в обратном порядке, причем перед каждым числом почему-то стоял знак «минус»!

— Этими числами размечена дорога для королевских прогулок, — объяснил Король. — Дорога идёт вдоль стены, и расстояние между соседними числами равно как раз одному королевскому шагу. — Он повернулся к поварятам и приказал:

— Бегом на кухню, испеките торт и принесите его к «минус тысяче»! Но имейте в виду: этот торт — королевская награда, — со значением добавил он.

— К «минус тысяче»? — удивилась Алиса. — Что бы это значило?

Однако поварята всё поняли: они мигом развернулись и, обгоняя друг друга, умчались.

— Давай прогуляемся в ожидании торта, — предложил Король. — Заодно нагуляешь аппетит.

— Для торта у меня всегда есть аппетит, — призналась Алиса.

— Для такого торта, какой тебе принесут, аппетит нужен особый, — заверил Король, подал Алисе руку и повёл её по дороге для королевских прогулок вправо от нуля.

КОГДА ЧЕЛОВЕК ПОБЕДИЛ ДРОБИ

Лет триста назад дроби считались вершиной премудрости: правилам действий с дробями обучали не в школах, а в университетах! Даже сами учёные находили эти правила весьма странными — один итальянский учёный писал: «Как получается, что умножение на дробь приводит к уменьшению? Ведь умножение должно всегда увеличивать!».

Что же заставило заняться «укрощением» дробей — делом, которое растянулось на тысячелетия?

У немцев до сих пор сохранилась поговорка «попал в дроби» — это значит: человек попал в такое положение, что ему не позавидуешь

Первым «упражнением на дроби» был делёж охотничьей добычи: убитого медведя или мамонта надо было разделить на всех членов племени. При этом, конечно, не всегда удавалось разделить на равные части! Отголосок тех времён сохранился и в нашем языке: когда мы делим что-то на две неравные части, мы иногда говорим «большая половина» и «меньшая половина», не замечая даже, что половина не может быть «большей» или «меньшей»!

Со временем, однако, появилась потребность делить и на равные части — например, зерно или поле для посева. И тогда появились дроби: одна вторая, одна треть, одна четвёртая и так далее — такие дроби называются основными.

Другой причиной появления дробей была потребность в измерениях. Чтобы делить поле на участки, обменивать зерно и ткани или следить за временем, надо было научиться измерять площадь, объём, длину, время. Однако в результате измерения не всегда получалось натуральное число: часто приходилось учитывать и части меры — половину, четверть, одну шестую и так далее

При измерениях важно сравнивать величины, а для этого основные дроби совсем не подходят: попробуйте, например, сразу сказать, что больше — одна вторая плюс одна двенадцатая или одна треть плюс одна четверть?

Намного удобнее было бы, конечно, использовать при измерениях одни и те же части и указывать, сколько таких частей надо взять: например, сразу ясно, что двадцать три шестидесятых меньше, чем двадцать пять шестидесятых. И можно даже сразу сказать, на сколько меньше — ровно на две шестидесятых! Мы не случайно взяли шестидесятые части: первыми делить на одинаковые доли догадались древние вавилоняне, которые считали не десятками, а «шестидесятками», поэтому и доли у них были шестидесятые. А когда деления на шестьдесят частей было недостаточно, одну шестидесятую часть делили ещё на шестьдесят частей — получались «три тысячи шестисотые» части. Вам это ничего не напоминает? Тогда взгляните на часы: каждый час разделен на шестьдесят минут, а каждая минута — на шестьдесят секунд! Это привет от вавилонян, которых давно уже нет!