Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики - Роджер Пенроуз

Точка зрения Нильса Бора, согласно которой существованию фотона между моментами, когда производятся измерения, нельзя придать объективный «смысл», представляется мне слишком пессимистической относительно реальности состояния фотона. Квантовая механика дает нам волновую функцию для описания «реальности» положения фотона, и между полупосеребренными зеркалами волновая функция фотона как раз описывает состояние с двумя пиками, причем расстояние между пиками иногда бывает весьма значительным.

Заметим также, что утверждение «находится сразу в двух определенных местах» не полностью характеризует состояние фотона: нам необходимо отличать состояние ψt + ψb, например, от состояния ψt — ψb (или, например, от состояния ψt + iψb), где ψt и ψb теперь относятся к положениям фотона на каждом из двух маршрутов (соответственно «прошедшем» и «отраженном»!). Именно такого рода различие определяет, достигнет ли фотон с достоверностью детектора А, пройдя до второго полупосеребренного зеркала, либо он с достоверностью достигнет детектора В (или же он попадет в детекторы А и В с некоторой промежуточной вероятностью).

Эта загадочная особенность квантовой реальности, состоящая в том, что мы всерьез должны принимать во внимание, что частица может различными способами «находиться в двух местах сразу», проистекает из того, что нам приходится суммировать квантовые состояния, используя комплекснозначные веса для получения других квантовых состояний. Такого рода суперпозиция состояний является общей (и важной) особенностью квантовой механики, известной под названием квантовой линейной суперпозиции. Именно эта особенность квантовой механики позволяет нам образовывать импульсные состояния из конфигурационных состояний и конфигурационные состояния — из импульсных. В этих случаях линейная суперпозиция применяется к бесконечному массиву различных состояний, т. е. ко всем различным конфигурационным состояниям или ко всем различным импульсным состояниям. Но, как мы видели выше, квантовая линейная суперпозиция весьма озадачивает, даже если мы применяем ее всего лишь к двум состояниям. По правилам квантовой механики любые два состояния, сколь бы сильно они ни отличались друг от друга, могут сосуществовать в любой комплексной линейной суперпозиции. Более того, любой объект, состоящий из отдельных частиц, должен обладать способностью существовать в такой суперпозиции пространственно далеко разнесенных состояний и тем самым «находиться в двух местах сразу»! В этом отношении формализм квантовой механики не проводит различия между отдельными частицами и сложными системами, состоящими из многих частиц. Почему же тогда мы не наблюдаем в повседневной жизни макроскопические тела, например, крикетные шары или даже людей, находящиеся в двух совершенно различных местах? Это — глубокий вопрос, и современная квантовая теория по сути дела не дает нам удовлетворительного ответа на него. В случае объекта, сравнимого с крикетным шаром, нам необходимо рассматривать систему на «классическом уровне». Или, как принято обычно говорить, производить «наблюдение» или «измерение» над крикетным шаром. Но в этом случае в качестве вероятностей, описывающих реальные альтернативы, необходимо рассматривать квадраты модулей комплекснозначных амплитуд вероятности, входящие в наши линейные суперпозиции в виде весов. Однако при этом сразу возникает сомнение в правомерности замены подобным способом квантовой U-процедуры на R-процедуру. К этому вопросу мы еще вернемся в дальнейшем.

Гильбертово пространство

Напомним, что в главе 5 для описания классической системы было введено понятие фазового пространства. Каждая точка фазового пространства используется для представления (классического) состояния физической системы как целого. В квантовой теории соответствующим аналогичным понятием является гильбертово пространство[147]. Одна точка гильбертова пространства представляет квантовое состояние системы как целого. Нам необходимо бросить хотя бы беглый взгляд на математическую структуру гильбертова пространства. Надеюсь, что читателя не устрашит такая перспектива. В том, что я намереваюсь сказать, нет ничего математически очень сложного, хотя некоторые идеи могут показаться непривычными.

Наиболее фундаментальное свойство гильбертова пространства заключается в том, что оно представляет собой так называемое векторное пространство, а фактически комплексное векторное пространство. Это означает, что, сложив любые два элемента гильбертова пространства, мы получим элемент, также принадлежащий этому же пространству. Кроме того, когда мы производим сложение элементов гильбертова пространства, их разрешается умножать на комплекснозначные веса. Мы должны уметь делать такие операции, ибо они входят в состав только что рассмотренной квантовой линейной суперпозиции, а именно операции, ранее давшие нам фотонные состояния ψt + ψb, ψt — ψb, ψt + iψb и т. д. По существу, все что мы имеем в виду, используя термин «комплексное векторное пространство», сводится к разрешению образовывать взвешенные суммы указанного типа[148].

Удобно принять систему обозначений (предложенную главным образом Дираком), согласно которой элементы гильбертова пространства называются векторами состояния и обозначаются угловыми скобками |ψ)[149] (важное примечание),

и т. д.

Теперь эти символы обозначают квантовые состояния. Операцию сложения двух векторов состояния мы записываем в виде

или с комплексными весами ω и z

где ω|ψ) означает ω х |ψ) и т. д. Соответствующим образом мы можем записать приведенные выше комбинации ψt + ψb, ψt — ψb, ψt + iψb в виде

|ψt) + |ψb), |ψt) — |ψb), |ψt) + i|ψb), и т. д.

Мы можем также просто умножить одно состояние |ψ) на комплексное число ω и получить

ω|ψ)

(в действительности это — частный случай приведенной выше комбинации состояний с комплексными весами при z = 0).

Напомним, что нам разрешается рассматривать комбинации с комплекснозначными весами ω и z и в том случае, когда ω и z — не являются амплитудами вероятности, а лишь им пропорциональны. Соответственно, мы принимаем правило, согласно которому весь вектор состояния можно умножить на отличное от нуля комплексное число, и физическое состояние от этого не изменится. (В результате такого умножения изменились бы значения весов ω и z, но отношение ω: z осталось бы неизменным.) Каждый из векторов

представляет одно и то же физическое состояние, как и любой вектор z |ψ), где z ≠ 0. Единственный элемент гильбертова пространства, не допускающий интерпретацию как физическое состояние, есть нулевой вектор 0 (начало координат гильбертова пространства).

Чтобы получить некоторое геометрическое представление этой картины, рассмотрим сначала более привычное понятие «вещественного» вектора. Такой вектор принято изображать просто как стрелку, проведенную на плоскости или в трехмерном пространстве. Сложение двух таких векторов производится по правилу параллелограмма (рис. 6.19).

Рис. 6.19. Сложение и умножение на скаляры векторов в гильбертовом пространстве можно наглядно представить как соответствующие операции для векторов в обычном пространстве