Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Интуиционизм в широком смысле слова восходит по крайней мере к Декарту и Паскалю. Так, в «Правилах для руководства ума» Декарта говорится следующее:{116}

Для того, чтобы в дальнейшем не подвергать себя подобному заблуждению, мы рассмотрим здесь все те действия нашего интеллекта, посредством которых мы можем придти к познанию вещей, не боясь никаких ошибок. Возможны только два таких действия, а именно: интуиция и дедукция.

Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчетливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим, или, что одно и то же, прочное понятие ясного и внимательного ума, порождаемое лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте более достоверное, чем сама дедукция, хотя последняя и не может быть плохо построена человеком, как я уже говорил выше.

Так например, всякий может интуитивно постичь умом, что он существует, что он мыслит, что треугольник ограничивается только тремя линиями, что шар имеет только одну поверхность, и подобные этим истины, гораздо более многочисленные, чем это замечает большинство людей вследствие того, что не считает достойными внимания такие простые вещи.

Может возникнуть сомнение, для чего мы добавляем к интуиции еще и этот другой способ познания, заключающийся в дедукции, посредством которой мы познаем все, что необходимо выводится из чего-либо достоверно известного. Это нужно было сделать потому, что есть много вещей, которые хотя и не являются самоочевидными, но доступны достоверному познанию, если только они выводятся из верных и понятных принципов путем последовательного и нигде не прерывающегося движения мысли при зоркой интуиции каждого отдельного положения. Подобно этому мы узнаем, что последнее кольцо длинной цепи соединено с первым, хотя мы и не можем охватить одним взглядом все находящиеся между ними кольца, которые обусловливают это соединение, лишь бы мы последовательно проследили их и вспомнили, что каждое из них, от первого до последнего, соединено с соседним. Итак, мы различаем здесь интуицию ума от правильной дедукции в том отношении, что под дедукцией подразумевается именно движение или последовательность, чего нет в интуиции; кроме того, дедукция не нуждается в наличной очевидности, как интуиция, но скорее как бы заимствует свою достоверность у памяти. Отсюда следует, что положения, непосредственно вытекающие из первого принципа, можно сказать, познаются как интуитивным, так и дедуктивным путем, в зависимости от способа их рассмотрения, сами же принципы — только интуитивным, как и, наоборот, отдаленные их следствия — только дедуктивным путем.

([15], с. 57-60.)

Паскаль также глубоко верил в интуицию и в своих математических работах опирался в основном на интуицию. Он предвидел важные результаты, высказывал великолепные догадки и находил изящные, неожиданные решения. С годами Паскаль стал отдавать интуиции явное предпочтение как источнику истины. Некоторые из его высказываний на эту тему получили широкую известность: «У сердца — свои причины, о которых не знает разум»; «Логика — медленный и мучительный метод, позволяющий тем, кто не знает истины, открывать ее»; «Смири гордыню, бессильный разум».

Многие положения интуиционизма были предвосхищены Иммануилом Кантом. Будучи прежде всего философом, Кант тем не менее в 1755-1770 гг. преподавал математику и физику в Кёнигсбергском университете. Он считал, что свои ощущения мы получаем из предполагаемого внешнего мира, однако эти ощущения (или восприятия) не дают существенного знания. Все восприятия включают в качестве необходимого звена взаимодействие между тем, кто воспринимает, и воспринимаемым объектом. Разум организует восприятия, и эти организации являются интуитивными представлениями о пространстве и времени. Пространство и время не существуют сами по себе, а являются творениями нашего разума. Разум применяет свое понимание пространства и времени к данным опыта, которые лишь пробуждают разум. Знание может начинаться с опыта, но в действительности не опыт является источником знания. Знание берется из разума. Математика дает нам блестящий пример того, как далеко мы можем продвинуться в априорном (истинном) знании независимо от опыта. Математические теоремы Кант относит к разряду так называемых синтетических суждений, т.е. суждений, доставляющих нам новое знание и тем отличающихся от аналитических суждений типа, например, предложения «Все тела протяженны», не содержащих ничего нового, так как в силу самой природы тел протяженность является их неотъемлемым свойством (примером синтетического суждения может служить, скажем, утверждение о том, что отрезок прямой есть кратчайшее расстояние между двумя точками).

Хотя Кант заблуждался, приписывая евклидовой геометрии априорный синтетический характер, аналогичное заблуждение разделяли почти все философы и математики того времени. Эта ошибка дискредитировала философию Канта в глазах философов и математиков последующих поколений. Однако проведенный Кантом анализ времени как одной из форм интуиции и его общий тезис о том, что разум служит источником основных истин, имели непреходящее значение.

Если бы математики были лучше знакомы со взглядами таких мыслителей, как Декарт, Паскаль и Кант, то интуиционистское направление в основаниях математики, считавшееся, по крайней мере в первые годы после его возникновения, весьма радикальным, шокировало бы их гораздо меньше. Но, разумеется, ни Декарт, ни Паскаль, ни Кант не имели в виду интуиционистский подход ко всей математике. Как направление в основаниях математики интуиционизм — порождение нашей эпохи.

Непосредственным предшественником современного интуиционизма был Леопольд Кронекер. Широко известно его высказывание: «Господь бог создал целые числа; все остальное — дело рук человеческих». Сложную логическую концепцию целого числа Кантора и Дедекинда, базирующуюся на теоретико-множественной основе, Кронекер считал менее надежной, чем непосредственное принятие целых чисел. По мнению Кронекера, целые числа интуитивно понятны и не нуждаются в более строгом обосновании.{117} Все остальные математические понятия следовало строить так, чтобы их смысл был интуитивно понятен. Кронекер выступал за построение системы вещественных чисел на основе целых чисел и методов, позволяющих не только доказывать общие теоремы существования, но и вычислять значения соответствующих чисел. Так, Кронекер считал вполне приемлемыми иррациональные числа, являющиеся корнями многочленов, лишь в том случае, если соответствующие корни могут быть вычислены с любой степенью точности.

Кантор доказал, что существуют трансцендентные иррациональные числа, не являющиеся корнями никаких алгебраических уравнений [с целыми коэффициентами]{118}, и в 1882 г. Фердинанд Линдеман (1852-1939) доказал, что π — трансцендентное число. По поводу этой работы Кронекер заявил Линдеману: «Что толку от вашей прекрасной работы о числе π? Стоит ли браться за исследование подобных проблем, если подобные иррациональные числа вообще не существуют?» Возражение Кронекера относилось не вообще к иррациональным числам, а к доказательствам, не позволяющим вычислять те числа, о которых идет речь. Предложенное Линдеманом доказательство трансцендентности числа π не было конструктивным. С помощью разложения в ряд значение π можно было вычислить с любой степенью точности — но Кронекер считал неприемлемым само использование такого (бесконечного!) ряда.

Бесконечные множества и трансфинитные числа Кронекер полностью отвергал, так как считал возможным иметь дело только с потенциальной бесконечностью. С точки зрения Кронекера, все, что сделал в этой области Кантор, было не математикой, а мистикой. Классический анализ Кронекер назвал игрой в слова. Он мог бы с успехом добавить, что если у бога есть несколько математик, то ему следовало бы оставить их при себе. Однако Кронекер лишь высказывал подобные взгляды, но не развивал их. Возможно, он и сам относился к своим столь радикальным воззрениям не слишком серьезно.

Борель, Бэр и Лебег, с чьими возражениями против аксиомы выбора мы уже познакомились, были «полуинтуиционистами». Основание всей математики они усматривали в системе вещественных чисел. Подробное изложение их взглядов представляет лишь исторический интерес, так как и эти математики, в полемике которых речь шла о специальных вопросах, последовательной философии не создали. Пуанкаре, как и Кронекер, считал, что не следует давать определения целым числам или выводить их свойства на аксиоматической основе. Наша интуиция предшествует такому выводу. Пуанкаре также считал, что математическая индукция является общим принципом, допускающим получение новых результатов. При всей своей кажущейся интуитивности метод математической индукции к логике, по его мнению, не сводится.