Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Другое серьезное критическое замечание по поводу логистической программы состояло в том, что в процессе развития математики новые понятия, как выводимые, так и не выводимые непосредственно из опыта, формируются на основе чувственной или образной интуиции. Впрочем, как же иначе может возникать новое знание? Между тем в «Основаниях математики» все понятия сводятся к логическим. Формализация не дает сколько-нибудь реального представления о математике: это лишь шелуха, а не зерно. Высказывание Рассела: «Математика — такой предмет, в котором мы никогда не знаем ни того, о чем говорим, ни насколько верно то, что мы говорим» — вполне может быть адресовано логицизму.

На вопросы о том, каким образом могут входить в математику новые идеи и как математика может описывать реальный мир, если ее содержание целиком выводимо из логики, ответить нелегко, и Рассел и Уайтхед не дали на них никакого ответа. Один из возможных ответов состоял в том, что логицизм не ставит своей задачей объяснить, почему математика применима к реальному миру. На это можно было бы возразить, что математика применима к наиболее фундаментальным физическим принципам. По отношению к реальности их можно рассматривать как логические посылки. Математические методы позволяют извлекать из этих посылок такие заключения, как, например, pV = const (закон Бойля — Мариотта) или F = ma (второй закон Ньютона). Но эти заключения применимы к реальному миру. Возникает проблема соответствия реального мира «математической вселенной», базирующейся не на эмпирических фактах, а на дедуктивных выводах.{114} К этому вопросу мы вернемся в дальнейшем (гл. XV).

Рассел продолжал размышлять над логистической программой и после выхода в свет второго издания «Оснований математики». В книге «Мое философское развитие» (1959) он признавал, что эта программа заключалась в постепенном отходе от «евклидианства» в сочетании с намерением по возможности сохранить максимум определенности. Критика логистической философии, несомненно, сказалась на позиции, занятой Расселом в конце 20-х годов XX в. Приступая к работе над «Основаниями математики» в самом начале XX в., Рассел считал аксиомы логики истинами. В издании «Принципов математики» 1937 г. он отказался от таких взглядов. Теперь уже Рассел не был убежден, что принципы логики являются априорными истинами. Следовательно, выводимую из логики математику также нельзя считать априори истинной.

Но если аксиомы логики не принадлежат к числу истин, то логицизм оставляет без ответа фундаментальный вопрос о непротиворечивости математики. Еще в большей степени непротиворечивость ставится под угрозу сомнительной аксиомой сводимости. Использование аксиомы сводимости в первом и во втором изданиях «Оснований математики» Рассел оправдывал неубедительной ссылкой на то, что, во-первых, «из нее следует много высказываний, истинность которых почти не вызывает сомнений», и, во-вторых, «если бы эта аксиома была ложной, не существовало бы столь же правдоподобного объяснения, почему истинны выведенные из нее высказывания и почему из нее не следует ни одного высказывания, которое было бы ложным». Принятая в «Основаниях математики» (и во многих других логических системах) материальная импликация может быть истинной, даже если ее первый член ложен. Следовательно, если бы в число аксиом входило ложное высказывание p и импликация «если p, то q» была бы истинной, то и высказывание q могло бы быть истинным. Поэтому ссылка на то, что из аксиомы сводимости следуют высказывания, истинность которых не вызывает сомнений, не достигает цели, так как в логической системе «Оснований математики» любое «бесспорно истинное» высказывание вполне может следовать из ложной аксиомы.{115}

Работу Рассела и Уайтхеда критиковали и по многим другим причинам, которые мы не затрагивали. Как обнаружилось в дальнейшем, иерархия типов оказалась разумной и полезной, но, по-видимому, все же не полностью соответствующей своему назначению. Типы были введены как предохранительная мера против антиномий, и они действительно помогли разрешить антиномии теории множеств и логики. Однако не исключено, что возникнут новые антиномии, против которых иерархия типов окажется бессильной.

Тем не менее некоторые выдающиеся логики и математики, например Уиллард Ван Орман Куайн и Алонсо Черч, по-прежнему выступают в защиту логицизма, хотя в его современном состоянии относятся к нему критически. Многие авторы трудятся над восполнением тех или иных изъянов логицизма. Некоторые логики и математики, разделяющие не все тезисы логицизма, настаивают на том, что логика и, следовательно, математика аналитичны, т.е. представляют собой обобщенные варианты того, что утверждается в аксиомах. Итак, у логической программы имеются убежденные сторонники, стремящиеся ликвидировать причины возражений и сделать менее громоздкими некоторые построения. Другие ученые склонны видеть в логицизме несбыточную мечту. Находятся и такие, которые, как мы увидим, выступают с резкой критикой, считая логицизм абсолютно ложной концепцией математики. В целом, если учесть спорные аксиомы и длительное, сложное развитие, нельзя не признать, что у критиков были все основания утверждать, что логицизм выводит заранее известные заключения из необоснованных посылок.

Своим фундаментальным трудом Рассел и Уайтхед способствовали прогрессу еще одного направления математической мысли. Математизация логики началась в конце XIX в. (гл. VIII). Рассел и Уайтхед осуществили всю аксиоматизацию в чисто символическом виде, тем самым значительно продвинув развитие математической логики.

По-видимому, последнее слово о логицизме было сказано Расселом в его книге «Портреты по памяти» (1958):

Я жаждал определенности примерно так же, как иные жаждут обрести религиозную веру. Я полагал, что найти определенность более вероятно в математике, чем где-либо еще. Выяснилось, однако, что математические доказательства, на принятие которых мной мои учителя возлагали такие надежды, изобилуют грубыми логическими ошибками и что определенность, если и кроется в математике, то заведомо в какой-нибудь новой области, обоснованной более надежно, чем традиционные области с их, казалось бы, незыблемыми истинами. В процессе работы у меня из головы не выходила басня о слоне и черепахе: воздвигнув слона, на котором мог бы покоиться математический мир, я обнаружил, что этот слон шатается, — тогда и мне пришлось создать черепаху, которая не давала бы слону упасть. Но и черепаха оказалась ничуть не более надежной, чем слон, — и через каких-нибудь двадцать лет напряженных усилий и поисков я пришел к выводу, что не могу сделать ничего более, дабы придать математическому знанию неоспоримый характер.

В книге «Мое философское развитие» (1959) Рассел признавался: «Восхитительная определенность, которую я всегда надеялся найти в математике, затерялась в путанице понятий и выводов… Это оказался поистине запутанный лабиринт, выхода из которого не было видно». Трагедия постигла не только Рассела.

Еще в то время, когда логицизм переживал период становления, группа математиков, называвших себя интуиционистами, предложила совершенно иной подход к математике, диаметрально противоположный логицизму. Один из интереснейших парадоксов в истории математики состоял в том, что в то время как логицисты в поисках надежных оснований математики все более полагались на изощренную логику, их основные соперники отворачивались от логики и даже в каком-то отношении отказались от нее (ср., впрочем, ниже). Но цель, которую преследовали логицисты и интуиционисты, была единой. В конце XIX в. математика утратила свои претензии на истинность как выражение законов, присущих структуре реального мира. Логики, главным образом Фреге и Рассел, первоначально считали, что логика является сводом незыблемых истин и поэтому основанная на логике математика также будет собранием истин; однако впоследствии они отошли от исходной позиции к логическим принципам, имевшим лишь прагматическое обоснование. Интуиционисты также пытались обосновать истинность собственно математики, ссылаясь непосредственно на человеческий разум. Выводы из логических принципов интуиционисты считали менее надежными, чем непосредственно интуитивные соображения. Открытие парадоксов не только укрепило недоверие к логическим принципам, но и ускорило процесс формулировки основных представлений интуиционизма.

Интуиционизм в широком смысле слова восходит по крайней мере к Декарту и Паскалю. Так, в «Правилах для руководства ума» Декарта говорится следующее:{116}

Для того, чтобы в дальнейшем не подвергать себя подобному заблуждению, мы рассмотрим здесь все те действия нашего интеллекта, посредством которых мы можем придти к познанию вещей, не боясь никаких ошибок. Возможны только два таких действия, а именно: интуиция и дедукция.