Глазами физика. От края радуги к границе времени - Уолтер Левин

Если сравнить двух млекопитающих, одно из которых в пять раз больше другого (следовательно, длина l его бедренной кости примерно в пять раз больше), можно ожидать, что толщина d его бедренной кости будет приблизительно в 53/2 = 11 раз больше толщины бедренной кости меньшего животного. На своих лекциях я показываю, что длина l бедренной кости слона примерно в 100 раз больше длины бедренной кости мыши; следовательно, если идея Галилео верна, следует ожидать, что толщина d бедренной кости слона приблизительно в 1003/2 = 1000 раз больше кости мыши.

Таким образом, на определенном этапе роста и развития толщина бедренных костей очень тяжелых млекопитающих должна была бы сравняться с длиной этих костей – или даже стать больше ее, – что сделало бы, по сути, этих животных нежизнеспособными. Очевидно, именно по этой причине мудрая природа ввела максимальные ограничения на размеры млекопитающих.

Приложение II

Законы Ньютона в действии

Закон всемирного тяготения Ньютона можно записать следующим образом:

Fтяг – сила гравитационного притяжения между объектами с массой m1 и m2, а r – расстояние между ними. G – это так называемая гравитационная константа.

Законы Ньютона в принципе позволили нам вычислить по крайней мере массу Солнца и некоторых планет.

Давайте посмотрим, как это работает. Начну с Солнца. Допустим, m1 – масса Солнца, а m2 – масса планеты (любой). Предположим, что орбита планеты представляет собой окружность с радиусом r, а ее орбитальный период равен Т (Т составляет 365,25 дня для Земли, 88 дней для Меркурия и почти 12 лет для Юпитера).

Если орбита круговая или почти круговая (что характерно для пяти из шести планет, известных ученым в XVII веке), темп вращения планеты на орбите будет стабильным, но направление ее скорости постоянно меняется. Однако при изменении направления скорости любого объекта, даже без изменения ее величины, непременно имеет место ускорение, и, следовательно, согласно второму закону Ньютона, должна быть сила, обеспечивающая его.

Эту силу называют центростремительной (Fц), и она всегда направлена точно от движущейся планеты к Солнцу. Конечно, поскольку Ньютон был Ньютоном, он знал, как вычислить эту силу (я вывожу это уравнение на своих лекциях); ее величина такова:

Здесь v – скорость планеты на орбите. Но эта скорость равна окружности орбиты, 2πr, поделенной на время, T, требуемое для одного оборота вокруг Солнца. Таким образом, мы можем также записать:

Откуда же берется эта сила? Каково ее происхождение? Ньютон понял, что это должно быть гравитационное притяжение Солнца. Следовательно, две силы в приведенных выше уравнениях являются, по сути, одной и той же силой и друг другу равны:

Еще немного поиграв с перестановкой переменных (кстати, отличный шанс освежить школьные знания алгебры), получаем, что масса Солнца составляет:

Обратите внимание, что массы планеты (m2) в уравнении 5 больше нет; она не входит в эту модель. Следовательно, для расчетов нам достаточно знать среднее расстояние от планеты до Солнца и ее орбитальный период (Т). Ну разве не удивительно? В конце концов, m2 есть и в уравнении 1, и в уравнении 2. Но именно тот факт, что данная переменная присутствует в обоих уравнениях, и является причиной, по которой m2 исключается путем установления равенства между Fтяг и Fц. В этом красота данного метода, и всем этим мы обязаны сэру Исааку Ньютону!

Уравнение 5 указывает на то, что r³/T² одинаково для всех планет. Хотя все они находятся на совершенно разных расстояниях от Солнца и имеют разные периоды орбитального движения, соотношение r³/T² у всех одинаково. Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер обнаружил этот удивительный факт в 1619 году, задолго до Ньютона. Но почему это отношение – куба радиуса к квадрату орбитального периода, – величина постоянная, он объяснить не смог. Только гениальный Ньютон 68 лет спустя показал, что это естественное следствие его законов.

В общем и целом уравнение 5 говорит нам о том, что если мы знаем расстояние от любой планеты до Солнца (r), орбитальный период этой планеты (Т) и гравитационную константу (G), то мы можем вычислить массу Солнца (m1).

Орбитальные периоды планет с достаточно высокой степенью точности были известны ученым задолго до XVII века. Расстояния между Солнцем и планетами также были известны с высокой степенью точности задолго до XVII века, но только в относительном масштабе. Иными словами, астрономы знали, что среднее расстояние от Венеры до Солнца составляет 72,4 процента от расстояния между Землей и Солнцем, а среднее расстояние от Юпитера до Солнца в 5,2 раза больше, чем от Солнца до Земли. Но абсолютные значения этих расстояний – совершенно другая история. Например, в XVI веке, во времена великого датского астронома Тихо Браге, считалось, что расстояние от Земли до Солнца в 20 раз меньше, чем оно было на самом деле (около 150 миллионов километров). В начале ХVII века Кеплер дал более точную оценку этого расстояния, но оно по-прежнему было в семь раз меньше правильного.

Поскольку, согласно уравнению 5, масса Солнца пропорциональна кубу его расстояния (до планеты), то если расстояние r не дотягивает до реального в семь раз, масса Солнца будет меньше фактической в 7³, то есть в 343 раза – много ли проку в таких данных?

Прорыв произошел в 1672 году, когда итальянский ученый Джованни Кассини измерил расстояние от Земли до Солнца с точностью до 7 процентов (весьма внушительный по тем временам результат), а это означало, что погрешность r³ составляла лишь около 22 процентов. Но и погрешность определения G все еще была не менее 30 процентов. Так что получается, что к концу ХVII века масса Солнца могла быть определена с точностью не выше 50 процентов.

Поскольку относительные расстояния от Солнца до планет были известны довольно точно, знание абсолютного расстояния от Солнца до Земли с 7-процентной точностью позволяло к концу ХVII века приблизительно с такой же точностью рассчитать и абсолютные расстояния от Солнца до пяти других известных астрономам планет.

Описанный выше метод для расчета массы Солнца можно использовать и для определения массы Юпитера, Сатурна и Земли. Все три планеты имеют на своих орбитах спутники; еще в 1610 году Галилео Галилей обнаружил четыре спутника Юпитера, которые ныне известны как галилеевы луны. Если m1 – масса Юпитера, а m2 – масса одного из его спутников, то мы можем вычислить массу Юпитера с помощью уравнения 5 – так же, как вычисляли массу Солнца, только на этот раз r будет расстоянием между Юпитером и его спутником, а Т – орбитальным периодом этого спутника при вращении вокруг Юпитера. Четыре галилеевых луны (всего у Юпитера 63 спутника!) имеют орбитальные периоды 1,77 дня, 3,55 дня, 7,15 дня и 16,69 дня.

Со временем точность оценки расстояний между планетами и величины G существенно повысилась. К XIX веку константа G была известна с точностью до 1 процента. В настоящее время она оценена с точностью до 0,01 процента.

Приведу пример с конкретными числами. Предлагаю с помощью уравнения 5 вместе вычислить массу Земли (m1), взяв для этого данные об орбите нашей Луны (масса m2). Чтобы использовать уравнение 5 правильно, расстояние r должно быть выражено в метрах, а период T в секундах. И при G, равном 6,673 × 10−11, мы получим массу в килограммах.

Среднее расстояние от Земли до Луны (r) составляет 3,8440 × 108 метров; ее орбитальный период Т равен 2,3606 × 106 секунды (27,32 дня). Если подставить эти числа в уравнение 5, масса Земли будет равна 6,030 × 1024 килограмма. Самая точная на сегодняшний день оценка массы Земли составляет около 5,974 × 1024 килограмма, то есть всего на 1 процент меньше, чем то значение, которое мы только что рассчитали! Откуда же взялась эта разница? Одной из причин погрешности является то, что в использованном нами уравнении предполагается круговая орбита Луны, в то время как на самом деле она вытянутая, эллиптическая. В результате наименьшее расстояние до Луны составляет 363,1 тысячи километров, а наибольшее – 405,7 тысячи километров. Конечно, для законов Ньютона эллиптические орбиты не проблема, но, боюсь, сложность этих расчетов может взорвать ваш мозг. Если уже не взорвала!