Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика. - Карлос Касадо

Лапласианом называют оператор, являющийся обобщением на функции w = f(x, у, z, t) координат пространства и времени и равный сумме вторых производных функции от х, у, z:

Δw = d²w/dx²+ d²w/dy² + d²w/dz².

Лаплас посвятил много времени решениям дифференциальных уравнений математической физики, в которой появилась эта формула. Три из этих уравнений по-настоящему важны.

— Δw=0: уравнение Лапласа, которое отражает тот факт, что совершенное жидкое тело, в котором нет потока, является неразрушимым. Это уравнение математическим способом представляет очевидный факт: если жидкое тело является неразрушимым, количество жидкости, которая выходит в любом малом объеме и за данный промежуток времени, и то количество жидкости, которое в нем остается, — идентичны. Однако, когда это уравнение подвергается математическому рассмотрению, оно приводит к неожиданным выводам, которые далеки оттого, чтобы быть прописной истиной, и позволяют сделать некоторые прогнозы. Лаплас открыл это уравнение, когда изучал потенциал притяжения (функция, измеряющая силу притяжения, посредством которой тело любой формы притягивает определенную массу).

— Уравнение распространения тепла:

Δw = dw/dt.

— Волновое уравнение:

Δw = d2w/dt2.

Впрочем, идея этого уравнения и функции, следующей из него, — Симеон Дени Пуассон (1781-1840) и позже, в 1828 году, Джордж Грин (1793-1841) назвали ее потенциальной функцией — уже прослеживалась в работах, написанных ранее Эйлером и Лагранжем, а Лаплас первым упомянул эти две формулы в своих исследованиях тяготения. Это уравнение и эта функция сыграют фундаментальную роль в последующих работах, касающихся тепла, электричества и магнетизма. Удивительно также, что уравнение Лапласа и многочлены Лежандра необходимы для описания поведения электронов и атомов: двумя веками позже они снова появятся в фундаментальном уравнении квантовой механики — в уравнении Шрёдингера.

ОРБИТЫ И КОМЕТЫ

Аристотель считал кометы феноменами атмосферного характера. Но позже математики вызвались подправить древнюю теорию и описать траекторию этих небесных странников, которые в народе считаются предвестниками беды. Чтобы убедиться в универсальности закона тяготения, необходимо было сделать следующий решительный шаг: применить этот закон к телам, которые перемещаются вне Солнечной системы. Не будем забывать, что существование комет позволяло опровергнуть теорию декартовых вихрей. Если кометы могли пересекать Солнечную систему, не втягиваясь в вихревые потоки, возможно, это означало, что вокруг Солнца просто не существует этих потоков?

В «Началах» Ньютон написал, что кометы также подвержены закону тяготения, а значит, они должны описывать замкнутую траекторию. Ученый уже уподобил движение снарядов параболам, а движение планет — кругам или эллипсам. После этого у него появилась идея сравнить движение комет с одним из конических сечений — кругом, эллипсом, параболой или гиперболой. Если комета описывает круг или эллипс, даже очень вытянутый, она должна регулярно появляться. Но если ее орбита имеет форму параболы или гиперболы, значит, следуя по открытой орбите, комета проходит через Солнечную систему и исчезает в необъятной Вселенной. Поскольку период обращения большинства комет, наблюдаемых с Земли, намного превышает длительность жизни астрономов, ученые долгое время и не подозревали, что кометы, как и планеты, описывают закрытые эллиптические орбиты.

В ТЕНИ ЛАПЛАСА

Адриен Мари Лежандр (1752-1833), наряду с Лапласом и Лагранжем, является третьей «Л» французской математики той эпохи. Он поддерживал тесные научные контакты с Лапласом, который был старше его всего на три года, и систематически становился его преемником на различных должностях.

В 1775 году благодаря д’Аламберу Лежандр занял должность преподавателя в Королевской военной школе Парижа, в 1783-м перешел на должность, оставленную Лапласом из-за повышения.

Однако нельзя сказать, что Лаплас помогал коллеге добиться успеха! Напротив, он несколько раз пользовался исследованиями Лежандра, даже не ссылаясь на него, и применял свое право вето при обсуждении его назначения на различные должности. Несмотря на все препятствия, Лежандр в 1782 году получил премию Берлинской академии наук. Лагранж, высоко ценивший Лежандра, просил Лапласа о содействии, но результат этой просьбы нам неизвестен.

Карикатура на Лежандра, созданная в 1820 году французским художником Луи-Леопольдом Бальи.

Отважный Эдмунд Галлей (1656-1742) в 1682 году открыл комету, которая сегодня носит его имя, и предположил, с учетом имевшихся данных, что эту же комету наблюдали в 1531-м и в 1607 году. Комета возвращалась раз в 75 или 76 лет, описывая очень вытянутый эллипс вокруг Солнца (см. рисунок). Галлей даже предсказал возвращение кометы в конце 1758- го или в начале 1759 года. Все жители Франции, от короля до просвещенных студентов, ждали этого события. Клеро усовершенствовал прогноз Галлея, опираясь на вычисления, проведенные д’Аламбером, но не ссылаясь на него, что усилило научную ревность между двумя исследователями. Появление кометы 25 декабря 1758 года, через 15 лет после смерти Галлея, подтвердило прогноз. Это стало еще одним доказательством справедливости механики Ньютона по сравнению с теорией Декарта. Больше не было сомнений в том, что кометы описывают вытянутые эллиптические орбиты.

Все планеты перемещаются в одной плоскости (плоскости эклиптики) и в одном направлении, но орбита кометы Галлея явно наклонена по отношению к этой плоскости, а сама комета движется в обратном направлении (ретроградное движение).

В это время парижских ученых охватила настоящая страсть к кометам. В 1773 году Лаланд, который считал себя самым известным астрономом во Вселенной и хвастался тем, что «так же уродлив, как Сократ», решил подшутить над коллегами. Этот распутник и безбожник, однажды съевший паука, чтобы доказать нерациональность арахнофобии, представил перед членами Академии отчет, в котором объяснял, как планеты воздействуют на орбиты комет. Он выдвигал возможность того, что одна из них может уничтожить Землю в 1789 году, и это заявление вызвало во французской столице настоящий ужас. Архиепископ Парижа посоветовал молиться в течение 48 часов, чтобы успокоить панику, и попросил Академию наук не признавать отчет. На это ученые ответили, что не могут не признавать законы астрономии. Тогда Лаланд решил развеять всеобщие страхи, заявив, что это будет очень необычно, если два маленьких тела — комета и Земля — столкнутся в необъятном пространстве.

Многие ученые взялись за точные расчеты орбиты комет. В 1766 году иезуит и астроном Руджер Бошкович (1711— 1787) представил Академии метод определения траекторий комет, однако его доклад закончился ссорой с Лапласом, который резко обругал все изыскания коллеги. В то время как Бошкович читал вслух свой отчет, Лаплас прерывал его возгласами: «Ложь!» «Необдуманно!» «Ошибочно!» В конце концов Академия была вынуждена созвать комиссию, которая согласилась с Лапласом, отметив, что это не дает ему права так унижать Бошковича. Немного позже Лаплас загладил свою вину, представив собственный способ расчета орбит комет.

Брат и сестра Гершели были британскими астрономами немецкого происхождения. Уильям (1738-1822) и Каролина (1750-1848) образовали тандем, не имеющий себе равных, по исследованию небесного пространства, используя телескопы собственного производства. Неутомимый наблюдатель Уильям Гершель 13 марта 1781 года отыскал в небе новую звезду. Сначала он подумал, что это комета, описывающая эллиптическую или параболическую орбиту, так как, в отличие от удаленных звезд, открытое тело двигалось. Многие астрономы (в их числе Бошкович, Лаланд и Лаплас) сделали свой вклад в расчет его орбиты на основании трех коротких наблюдений. И все трое были поражены: это была не комета, а новая планета, которую можно было наблюдать только в телескоп. Астроном Андреас Иоганн (в России — Андрей Иванович) Лексель (1740-1784) взялся за доказательство: новая звезда очерчивала вокруг Солнца эллиптическую орбиту, лежащую в одной плоскости с орбитами других планет. Это был Уран — первая планета, невидимая невооруженным глазом и самая удаленная из известных сегодня. Открытие нового тела в Солнечной системе было удивительным, ведь количество известных планет не менялось в течение тысячелетий. Древнегреческие астрономы называли планетами (дословно — «странствующие звезды») пять светящихся точек: Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн, которые перемещались в небе на фоне неподвижных звезд. Их движение описывало на небесной сфере четкую линию (зодиак) — пояс, окружавший траекторию, описываемую Солнцем (эклиптику).