Математика. Поиск истины. - Морис Клайн

Здесь Риман высказал предположение, что природа физического пространства должна каким-то образом отражать происходящие в нем физические явления. Риман, несомненно, развил бы эту глубокую идею, если бы не его преждевременная кончина (он умер в возрасте сорока лет).

Идею Римана удалось несколько развить математику Уильяму Кингдону Клиффорду (1854-1879). По мнению Клиффорда, некоторые физические явления обусловлены изменениями кривизны пространства. Кривизна пространства меняется не только от точки к точке, но и (вследствие движения материи) со временем. Физическое пространство в какой-то мере подобно холмистой поверхности, и законы евклидовой геометрии перестают действовать в таком пространстве. Более точное исследование физических законов не позволяет игнорировать существование «неровностей» в пространстве.

Вот что писал Клиффорд в 1870 г.:

Я считаю несомненным следующее. (1). Малые части пространства по своей природе аналогичны небольшим неровностям иа поверхности, в среднем плоской. (2) Свойство быть искривленным или деформированным непрерывно переходит от одной части пространства к другой наподобие волны. (3) Эта вариация кривизны пространства отражает то, что действительно происходит при явлении, которое мы называем движением материи, эфирной или телесной. (4) В реальном физическом мире не происходит ничего, кроме этих вариаций, вероятно, удовлетворяющих закону непрерывности.

Клиффорд высказал также предположение, что гравитационные эффекты, возможно, обусловлены кривизной пространства, но низкая точность пространственных измерений в то время не позволила подтвердить его догадку. Сколь ни блестящей была гипотеза Клиффорда, ей оставалось дожидаться своего часа — появления работ Эйнштейна по общей теории относительности.

Суть соображений, высказанных Риманом и Клиффордом, станет понятней, если рассмотреть, скажем, естественную геометрию земной поверхности в горной местности. На столь сильно пересеченной местности прямых может не быть. Какая бы кривая ни была здесь кратчайшим путем между двумя точками, она почти всегда отлична от прямой. Кроме того, кратчайшие пути, или геодезические, не обязательно имеют одинаковую форму. Представим себе, что обитателям такой горной местности понадобилось изучить треугольники. Итак, даны три точки и соединяющие их дуги — геодезические. Какими свойствами обладают такие треугольники? Ясно, что их свойства зависят от формы того участка местности, который заключен внутри геодезических, служащих сторонами треугольников. Сумма внутренних углов одних треугольников гораздо больше 180°, сумма углов других — гораздо меньше 180°. Обитатели нашей горной местности, несомненно, пришли бы к неевклидовой геометрии. Такая геометрия обладала бы одной важной отличительной особенностью: она была бы неоднородна. Свойства фигур в такой геометрии изменялись бы от точки к точке, как меняется рельеф горной местности.

Содержание заметок Гаусса, ставшее известным после его смерти (1855), когда научная репутация великого математика была на недосягаемой высоте, и опубликованная в 1868 г. лекция Римана (прочитанная в 1854 г.) убедили некоторых математиков в том, что неевклидова геометрия вполне может отражать геометрию физического пространства и что нельзя более с уверенностью говорить, какая из геометрий правильная.

Постепенно неевклидова геометрия и вытекающее из нее следствие относительно физической истинности этой геометрии были признаны всеми математиками, но отнюдь не потому, что ее применимость была подтверждена какими-либо новыми данными. Настоящую причину признаний такого рода указал в своей «Научной автобиографии» один из основоположников квантовой механики Макс Планк:

Обычно новые научные истины побеждают не так, что их противников убеждают и они признают свою неправоту, а большей частью так, что противники эти постепенно вымирают, а подрастающее поколение усваивает истину сразу.

([24], с. 22.)

Мы уже говорили о том, что математики начали задумываться о геометрии физического пространства. Физики-теоретики конца XIX в. все более стали интересоваться другой проблемой. Одним из неявных допущений, глубоко укоренившихся в научном мышлении XVIII-XIX вв., была гипотеза о существовании силы тяготения, или гравитации. Согласно первому закону Ньютона, «всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние» ([19], с. 39). Следовательно, если тело отпустить, то в отсутствие тяготения оно оставалось бы висеть в воздухе. Аналогичным образом, не будь гравитации, планеты разлетелись бы по прямым в космическое пространство. Но ничего такого не происходит. Все объекты во Вселенной ведут себя так, как если бы гравитация существовала.

Хотя Ньютон показал, что один и тот же количественный закон охватывает все земные и небесные проявления гравитационного взаимодействия, физическая природа гравитации оставалась непонятной. Каким образом Солнце, находясь на расстоянии около 150 млн. км от Земли, притягивает ее и каким образом Земля притягивает множество различных предметов вблизи ее поверхности? Эти вопросы не находили ответа, тем не менее загадка гравитации не вызывала особого беспокойства у физиков. Понятие гравитации само по себе оказалось полезным, и физики с готовностью приняли ее за реальную физическую силу. Если бы не другие, более насущные проблемы, возникшие в 80-х годах XIX в., то благодушная самоуспокоенность физиков по поводу гравитации вряд ли была бы серьезно поколеблена.

Физики обходили еще одну проблему, возникшую в связи с введением силы тяготения. Каждый физический объект обладает двумя явно различными свойствами: весом и массой. Масса характеризует сопротивление, оказываемое телом любому изменению его скорости как по величине, так и по направлению. Вес — это сила, с которой Земля притягивает тело. По теории Ньютона масса тела постоянна, тогда как вес тела зависит от того, на каком расстоянии оно находится от центра Земли. В центре Земли масса тела была бы такой же, как на поверхности, а вес обратился бы в нуль. На поверхности Луны масса тела остается такой же, как на поверхности Земли, но лунное тяготение в 80 раз слабее земного, а расстояние от центра тяжести (центра Луны) до поверхности в 4 раза меньше радиуса Земли. Следовательно, по закону всемирного тяготения (см. гл. VI) вес тела на Луне составляет лишь (1/80)×16, т.е. 1/5 веса того же тела на Земле. Астронавты на борту космического корабля имеют такие же массы, как на Земле, но в полете становятся невесомыми.

Хотя эти два свойства материи — масса и вес — различны, отношение веса к массе в данной точке всегда одно и то же. Постоянство отношения веса к массе не менее удивительно, чем, скажем, такой факт, как неизменность из года в год отношения производства угля к производству пшеницы. Если бы мы обнаружили, что производства угля и пшеницы действительно связаны такой зависимостью, то стали бы искать объяснение этому в экономической структуре государства. Аналогичным образом требовало объяснения и постоянство отношения веса к массе. Однако до Эйнштейна объяснить это не удавалось никому.

Но прежде чем переходить к работам Эйнштейна, следует упомянуть еще об одном физическом допущении. Как мы уже говорили, попытки объяснить природу света восходят еще к древним грекам. С начала XIX в. наиболее широкое распространение получила точка зрения, согласно которой свет, как и звук, представляет собой волновое движение. Поскольку волновое движение невозможно представить без среды, в которой распространяются волны, ученые заключили, что свет также должен распространяться в какой-то среде. Однако не было обнаружено никаких данных, свидетельствовавших о том, что пространство, в котором распространяется свет звезд или Солнца, заполнено какой-то материальной субстанцией, способной проводить волны. Ученым не оставалось другого выхода, как предположить, что такая «субстанция» (эфир), невидимая, не имеющая ни вкуса, ни запаха, невесомая и неосязаемая, существует. Кроме того, эфир должен был быть неподвижной средой, заполняющей все пространство, в которой Земля и другие небесные тела движутся так же беспрепятственно, как в пустоте. Таким образом, предполагаемые свойства эфира были внутренне противоречивыми (см. гл. VII).

Несмотря на многие сомнительные и мало понятные предположения, лежавшие в основании физики XIX в., ни одно поколение естествоиспытателей во все предшествующие века не было преисполнено такой уверенностью, что именно оно смогло открыть законы мироздания. Характерной чертой ученых XVIII в. был оптимизм, а их преемники в XIX в. отличались необычайной самоуверенностью. Двести лет успеха, хотя и неполного, вскружили головы философам и естествоиспытателям настолько, что законы механики Ньютона и его закон всемирного тяготения стали рассматриваться как непосредственные следствия законов мышления и чистого разума. Слово допущение отныне не встречалось в научной литературе, хотя у Ньютона ясно говорилось о том, что понятия гравитации и эфира не более чем гипотезы, причем гипотезы, физически непонятные. Но «непонятное» для Ньютона в XIX в. обрело совсем иной смысл.