Криптономикон, часть 1 - Нил Стивенсон

— Я слушаю, — сказал Лоуренс.

— Из «ОМ» следует абсолютно радикальная вещь — все в математике можно выразить определенной последовательностью символов.

— Лейбниц сказал это много раньше! — возмутился Руди.

— Ну, Лейбниц предложил символы, которые мы используем в дифференциальном исчислении, но…

— Я не про это!

— И он изобрел матрицы, но…

— И не про это тоже!

— И он немного занимался двоичной системой, но…

— Это софсем другое!

— Ладно, Руди, говори, о чем ты.

— Лейбниц изобрел базовый алфавит — записал набор символов для логических выражений.

— Ну, я не знал, что в сферу интересов герра Лейбница входила формальная логика, но…

— А как же! Он хотел сделать то же, что Рассел и Уайтхед, только не для одной математики, а для всего на сфете!

— Поскольку ты, Руди, похоже, единственный на планете знаешь об этом начинании Лейбница, можем ли мы допустить, что его затея не увенчалась успехом?

— Ты можешь допускать все, что тебе угодно, Алан, — ответил Руди, — но я — математик и ничего не допускаю.

Алан оскорбленно вздохнул и наградил Руди многозначительным взглядом, который, как догадывался Уотерхауз, означал «я тебе это припомню».

— Если мне позволят продолжить, — сказал он, — я вообще-то хотел, чтобы вы согласились вот с чем: все в математике можно выразить последовательностью символов, — он взял палку, которой надо было тыкать Лоуренса, и начал писать на земле что-то вроде + = 3) √1π, — и мне глубоко безразлично, будут это символы Рассела, или Лейбница, или гексаграммы И-Цзина.

— Лейбниц восхищался И-Цзином! — страстно воскликнул Руди.

— Помолчи пока про Лейбница, Руди. Мы с тобой едем в поезде, сидим в вагоне-ресторане, мило болтаем, а этот поезд со страшной силой тянут локомотивы «Бертран Рассел», «Риман», «Эйлер» и другие. А наш друг Лоуренс бежит рядом с поездом, пытаясь от нас не отстать — не обязательно потому, что мы умнее, просто он — деревенский, и у него нет билета. И я, Руди, просто высовываюсь в окошко и пытаюсь втащить его в гребаный поезд, чтобы мы втроем могли мило болтать о математике, не слушая все время, как он пыхтит и отдувается.

— Ладно, Алан.

— Если ты не будешь перебивать, я скоро закончу.

— Но есть еще локомотив по имени Лейбниц.

— Ты считаешь, что я не отдаю должного немцам? Внимание, сейчас я упомяну человека с немецкой фамилией.

— Кто же это? Фон Тьюринг? — съязвил Руди.

— Фон Тьюринг будет потом. Вообще-то я имел в виду Гёделя.

— Какой он немец! Он австрияк!

— Боюсь, это теперь одно и то же.

— Не я придумал аншлюс, и нечего на меня так смотреть. Я ненавижу Гитлера.

— Про Гёделя я слышал, — вставил Уотерхауз, чтобы охладить спор. — Но можно немножко назад?

— Конечно, Лоуренс.

— Зачем это надо? Ну то, что сделал Рассел? Что не так в математике? Я хочу сказать, два плюс два — четыре, верно?

Алан взял две бутылочные пробки и положил на землю.

— Два. Раз-два. Плюс… — Он положил рядом еще две. — Еще два. Раз-два. Равняется четырем. Раз-два-три-четыре.

— Что в этом плохого? — спросил Лоуренс.

— Однако, Лоуренс, когда ты на самом деле занимаешься математикой , абстрактно, ты ведь не считаешь пробки?

— Я вообще ничего не считаю.

Руди объявил:

— Очень современный взгляд.

— В смысле?

— Долгое время подразумевалось, — сказал Алан, — что математика — своего рода физика пробок. Что любую математическую операцию, которую ты выполняешь на бумаге, как бы ни была она сложна, можно свести — по крайней мере, в теории — к перекладыванию реального счетного материала вроде пробок в реальном мире.

— Нельзя же взять две целые одну десятую пробки.

— Ладно, ладно, пусть будут пробки для целых чисел, а для таких, как две целые одна десятая — физические меры, например длина этой палки. — Алан положил палку рядом с пробками.

— Как насчет «π»? Нельзя отпилить палку длиной ровно «π» дюймов.

— «π» — из геометрии. Та же история, — вставил Руди.

— Да, считалось, что Евклидова геометрия на самом деле своего рода физика, что его прямые и все такое описывают свойства физического мира. Но… знаешь Эйнштейна?

— Я не очень запоминаю фамилии.

— Седой, с большими усами.

— А, да, — мрачно ответил Лоуренс. — Я подходил к нему с вопросом про шестеренки. Он сказал, что опаздывает на встречу.

— Он придумал общую теорию относительности — своего рода практическое приложение, но не Евклидовой, а Римановой геометрии…

— Тот же Риман, что твоя дзета-функция?

— Тот же Риман, другое направление. Не уводи нас в сторону, Лоуренс…

— Риман показал, что существует много-много геометрий, которые, не являясь Евклидовыми, в то же время внутренне непротиворечивы, — объяснил Руди.

— Ладно, давайте снова к «ОМ», — сказал Лоуренс.

— Да! Рассел и Уайтхед. Итак, когда математики начали играть со всякими корнями из минус единицы и кватернионами, это было уже не то, что можно перевести в палки и пробки. И все же они по-прежнему получали верные результаты.

— По крайней мере внутренне непротиворечивые, — уточнил Руди.

— О'кей. Значит, математика — больше, чем физика пробок.

— Так нам представляется, Лоуренс, но возникает вопрос: математика по правде или это только игра в символы? Другими словами: мы открываем Истину или просто балуемся?

— Она должна быть по правде, потому что, когда прикладываешь ее к физике, она работает! Я слышал про общую теорию относительности и знаю, что она подтверждена экспериментами.

— Большая часть математики не поддается экспериментальной проверке, — сказал Руди.

— Вся идея в том, чтобы укрепить связь с физикой, — произнес Алан.

— И при этом не баловаться.

— И для этого написаны «ОМ»?

— Рассел и Уайтхед свели все математические понятия к таким жутко простым вещам, как множества. Отсюда они перешли к целым числам и так далее.

— Но как можно свести к множествам, например, число «π»?

— Нельзя, — сказал Алан, — зато его можно выразить цепочкой цифр: три запятая один четыре один пять девять и так далее.

— То есть через целые числа, — сказал Руди.

— Нечестно! Само «π» — не целое!

— Но можно вычислить цифры «π», одну за другой, по некой формуле. И можно написать формулу вроде такой!

Алан нацарапал на земле:

— Я использовал ряд Лейбница, чтобы утешить нашего друга. Видишь, Лоуренс? Это цепочка символов.

— Цепочку символов вижу, — нехотя согласился Лоуренс.

— Можно идти дальше? Гёдель, всего несколько лет назад, сказал: «Послушайте! Вы согласны, что все в математике просто цепочка символов? Тогда вот!» И показал, что любую цепочку символов — вроде этой — можно превратить в целые числа.

— Как?

— Ничего сложного, Лоуренс, простой шифр. Произвольный. Вместо уродливой сигмы напиши число 538 и так далее.

— Очень близко к баловству.

— Нет, нет! Потому что Гёдель расставил ловушку. В формулу можно подставлять числа, да?

— Конечно. Как 2х .

— Да. Можно подставить на место x любое число, и формула его удвоит. Но если математическую формулу вроде этой для вычисления числа «π» можно закодировать числом , то ее можно подставить в другую формулу. Формулу в формулу!

— И это все?

— Нет. Потом он доказал, очень простым способом, что если формулы можно применить к формулам, то мы вправе сказать: «данное утверждение недоказуемо». Что страшно удивило Гильберта и других, ожидавших противоположного результата.

— Этого твоего Гильберта ты уже упоминал?

— Нет, Лоуренс, он появился в нашем разговоре только сейчас.

— Кто он?

— Человек, который задает трудные вопросы. У него их целый список. Гёдель ответил на один.

— А фон Тьюринг — на другой, — добавил Руди.

— Это еще кто?

— Это я, — сказал Алан. — Только Руди шутит. В Тьюринге вообще-то нет приставки «фон».

— Сегодня ночью будет. — Руди как-то странно взглянул на Алана. Будь Лоуренс повзрослее, он бы определил этот взгляд как «страстный».

— Ладно, не томи. На какой вопрос Гильберта ты ответил?

— Entscheidungsproblem[6], — сказал Руди.

— То есть?

Алан объяснил:

— Гильберт хотел знать, можно ли в принципе доказать истинность или ложность любого высказывания.

— Но Гёдель все изменил, — произнес Руди.

— Верно. После Гёделя вопрос стал звучать так: «Можно ли определить, доказуемо или нет некое — любое — конкретное высказывание?» Другими словами, есть ли механический процесс, посредством которого мы в состоянии отсеять доказуемые утверждения от недоказуемых?

— «Механический процесс», Алан, это вообще-то метафора…

— Ладно тебе, Руди. Мы с Лоуренсом не боимся механики.

— Усек, — сказал Лоуренс.

— Что значит «усек»? — спросил Алан.