Математика. Поиск истины. - Клайн Морис

В 1667 г. Ньютон возвратился в Кембридж, где был избран членом совета Тринити-колледжа. В 1669 г. Исаак Барроу оставил свой пост главы кафедры математики, целиком посвятив себя теологии, и Ньютон занял его место. Судя по всему, Ньютон не был хорошим преподавателем. Очень немногие студенты посещали его лекцйи, и никто не отмечал особой оригинальности в его преподавании.

В 1684 г. по настоянию своего друга Эдмонда Галлея (1656-1742), астронома, в честь которого названа комета (комета Галлея), Ньютон занялся подготовкой к публикации своей работы по тяготению. Галлей взял на себя редактирование первого издания и значительную часть издержек. В 1687 г. классическое произведение Ньютона «Математические начала натуральной философии» (часто называемое для краткости просто «Начала») вышло из печати.

После этой публикации имя Ньютона обрело широкую известность. При его жизни «Начала» выдержали три издания. Появились и популярные изложения этого труда. Популяризация и в самом деле была необходима, так как «Начала» весьма трудны для чтения и далеко не все в этом сочинении понятно непосвященному, хотя издатели неоднократно утверждали обратное. Почти сто лет понадобилось величайшим математикам, чтобы довести до полной ясности ньютоновские «Начала».

Ньютон воздавал должное своим предшественникам и не придавал полученным результатам особенно большого значения. На склоне лет он сказал своему племяннику:

Не знаю, кем я кажусь миру, но самого себя я вижу всего лишь мальчиком, играющим на берегу океана, который забавляется, подбирая то обкатанный камешек, то красивую раковину, в то время как необъятный океан истины простирается передо мною, уходя в неведомые дали.

Из великих свершений, достигнутых Ньютоном в молодые годы, для нас наибольший интерес представляют его философия науки и работа над законом всемирного тяготения. Философия Ньютона содержала в еще более явном виде ту программу физических исследований, начало которой было положено еще Галилеем: законы природы, описывающие наблюдаемые явления на точном языке математики, надлежит формулировать, согласуясь с воспроизводимыми и допускающими экспериментальную проверку явлениями. Из этих законов путем математических рассуждений следует выводить новые законы. Подобно Галилею, Ньютон хотел знать, по какому плану Создатель сотворил мир, но опасался, что за многочисленными явлениями не сможет различить четкий механизм.

В предисловии к первому изданию «Начал» Ньютон говорит следующее:

Так как древние, по словам Паппуса, придавали большое значение механике при изучении природы, то новейшие авторы, отбросив субстанции и скрытые свойства, стараются подчинить явления природы законам математики.

В этом сочинении имеется в виду тщательное развитие приложений математики к физике… поэтому и сочинение это нами предлагается как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления. Для этой цели предназначены общие предложения, изложенные в книгах первой и второй.

([19], с. 1-3.)

Математические начала были для Ньютона, как и для Галилея, началами количественными. Расположить все в ясном и четком порядке по «мере, числу и весу» — такую задачу ставил перед собой Ньютон в своем сочинении.

Если говорить об описании природы, то величайшей заслугой Ньютона с полным основанием можно считать открытие единых законов, — управляющих движениями тел на небе и на Земле. Галилей наблюдал небесные тела, как никто ранее, но его успехи в математическом описании природы ограничивались описанием движений, происходящих либо по поверхности Земли, либо вблизи нее. Еще при жизни Галилея его современник Кеплер вывел три знаменитых закона движения планет, упростив тем самым гелиоцентрическую теорию. Но две области физики — земная и небесная — казались совершенно независимыми. Найти какую-нибудь связь между земными и небесными явлениями — такая задача будоражила умы великих ученых. И величайший из них справился с этой задачей.

Были все основания считать, что какой-то принцип, общий для земных и небесных явлений, все же существует. Согласно первому закону движения Галилея, о котором Ньютон мог узнать из сочинений Декарта или самого Галилея, чьи труды Ньютон оценивал высоко, тела должны двигаться равномерно и прямолинейно до тех пор, пока их движение не нарушали приложенные извне силы. Следовательно, планеты, однажды приведенные каким-то образом в движение, должны далее двигаться равномерно и прямолинейно, между тем как, согласно законам Кеплера, они обращаются вокруг Солнца по эллипсам. Значит, должна существовать какая-то сила, вынуждающая планеты постоянно отклоняться от прямолинейной траектории, подобно тому как груз, раскачивающийся на конце нити, не улетает по прямой, поскольку рука, держащая другой конец нити, притягивает его. Естественно допустить, что на планеты действует сила притяжения со стороны Солнца. Во времена Ньютона физикам было известно также, что Земля притягивает находящиеся на ней тела. А так как и Земля, и Солнце притягивают тела, была выдвинута и широко обсуждалась еще во времена Декарта идея объединить оба вида притяжения в рамках одной теории.

Ньютон превратил общие соображения в четко поставленную математическую задачу и, не вдаваясь в выяснение физической природы силы притяжения, решил эту задачу с помощью им же разработанного блестящего математического метода. Бытует легенда, что мысль о тождестве земного и солнечного притяжения осенила Ньютона, когда он обратил внимание на падение яблока с ветки дерева. Математик Карл Фридрих Гаусс заметил как-то, что эту историю Ньютон, должно быть, придумал сам, желая отделаться от глупцов, надоевших ему расспросами о том, как он открыл закон всемирного тяготения; однако, согласно другим источникам, легенда имеет под собой основания. Как бы то ни было, яблоко, упавшее на глазах у Ньютона (в отличие от другого яблока, сыгравшего заметную роль в истории!), способствовало подъему человеческого знания еще на одну ступень.

Ньютон начал свое исследование с рассмотрения задачи о теле, брошенном в горизонтальном направлении с вершины горы. Эту задачу решил еще Галилей, который показал, что такое тело при движении описывает параболу. Чем выше начальная скорость, тем более «широкой» и пологой становится парабола и тем дальше улетает тело. Но Галилей рассматривал тела, бросаемые не слишком далеко, что позволяло ему пренебречь кривизной Земли. Ньютону первому пришла в голову мысль рассмотреть полет тела, брошенного в горизонтальном направлении со скоростью, при которой становилась существенной кривизна Земли (тело описывает траекторию VD; рис. 26).

Рис. 26.

Не улетит ли такое тело в космическое пространство и не покинет ли Землю навсегда? Нет, ибо Земля продолжает его притягивать. В каком направлении действует на тело земное тяготение? Галилей всегда считал, что сила тяжести действует на тела вниз по вертикали, но для тела, движущегося по околоземной орбите, «вертикально вниз» означает «к центру Земли». Итак, если тело бросить с вершины горы, то оно будет притягиваться к Земле. Если увеличить начальную скорость, то тело улетит несколько дальше, описав траекторию VE, а при достаточно большой начальной скорости может даже стать искусственным спутником Земли и обращаться вокруг нее (если бы не было сопротивления воздуха) неограниченно долго. Вот что пишет об этом Ньютон в своих «Началах»:

Подобно тому как брошенное тело может быть отклонено силою тяжести так, чтобы описывать орбиту вокруг Земли, так и Луна или силою тяжести, или же иною силою, которая влечет ее к Земле, может быть отклоняема от прямолинейного пути и вынуждена обращаться по своей орбите; без такой силы Луна не могла бы удерживаться на своей орбите.

([19], с. 27.)