Математика. Поиск истины. - Клайн Морис

Например, постоянное сопротивление воздуха вызывает непрерывное уменьшение скорости; именно этим объясняется, что скорость предмета, катящегося или скользящего по гладкому полу, постепенно убывает до нуля. И наоборот, чтобы предмет двигался с ускорением, на него должна действовать какая-то сила. Предмет, падающий с высоты на землю, движется ускоренно. Во времена Галилея мысль о том, что этой силой должно быть земное тяготение, уже начала проникать в сознание людей, и Галилей, не теряя времени на размышления о силе тяготения, исследовал свободное падение тел с количественной стороны.

Он обнаружил, что если пренебречь сопротивлением воздуха, то все падающие на поверхность Земли тела, имеют одинаковое ускорение g,т.е. их скорость возрастает в одном и том же темпе: на 9,8 м/с за секунду, т.е.

g= 9,8 м/с 2. (1)

Если тело падает свободно, например скатившись с ладони, то его начальная скорость равна нулю. Следовательно, к концу первой секунды оно достигнет скорости 9,8 м/с, к концу второй секунды — скорости 2×9,8 = 19,6 м/с и т.д. По истечении tсекунд скорость тела

v= 9,8 t м/с. (2)

Эта формула содержит точную информацию о том, как возрастает со временем скорость свободно падающего тела. Она сообщает нам, что чем дольше падает тело, тем больше его скорость. Это хорошо известный факт, ибо большинству из нас приходилось видеть, что тело, сброшенное с большей высоты, ударяется о землю с большей скоростью, чем тело, сброшенное с меньшей высоты.

Чтобы определить путь, пройденный за данный промежуток времени свободно падающим телом, недостаточно просто умножить скорость на время. Произведение скорости на время дало бы правильное значение пути только в том случае, если бы тело двигалось с постоянной скоростью, т.е. равномерно. Галилей доказал, что в случае свободного падения тел правильная формула, связывающая пройденный путь sс продолжительностью падения имеет вид

s= 4,9 t 2, (3)

где s— расстояние в метрах, пройденное телом при свободном падении,  t— продолжительность падения (в секундах). Например, за 3 с свободно падающее тело проходит расстояние 4,9×3 2= 44,1 м.

Если обе части формулы (3)разделить на 4,9, а затем извлечь из них квадратные корни, то окажется, что время t,за которое свободно падающее тело проходит путь s,задается формулой t = √ s/ 4,9.  Обратите внимание на то, что масса падающего тела в эту формулу не входит. Таким образом, мы видим, что все свободно падающие тела за равное время проходят одинаковое расстояние. Считается, что к такому заключению Галилей пришел, сбрасывая тела различной массы с Пизанской башни. Однако многие люди до сих пор с трудом верят в то, что кусочек свинца и легкое перышко, если их сбросить с одинаковой высоты в откачанном до глубокого вакуума баллоне, одновременно упадут на дно.

Ускорение 9,8 м/с 2, с которым на Земле движутся все свободно падающие тела, обусловлено силой земного тяготения, или гравитацией. Когда говорят о силе тяжести (точнее ее численной величине) применительно к предметам, находящимся вблизи поверхности Земли, ее обычно называют весом. Хотя сам Галилей не связывал между собой вес и массу, следует заметить, что вес Pлюбого тела на Земле пропорционален его массе m. Численное значение коэффициента пропорциональности gзависит от выбора единиц. Таким образом, вес  Pи масса  mлюбого тела на Земле связаны между собой соотношением

P = gm. (4)

Как видим, два различных свойства тела — вес и масса — связаны между собой очень просто: вес  Pв gраз больше массы m. Простота и неизменность соотношения (4)приводят к тому, что мы часто путаем эти два свойства, хотя вес и массу тела необходимо четко различать. Масса — это свойство тел сопротивляться изменению скорости как по величине, так и по направлению, вес — численное значение силы, с которой Земля притягивает данное тело. Если тело покоится на гладкой горизонтальной поверхности, то поверхность противодействует силе тяжести. Следовательно, если рассматривать движение тела по поверхности (без трения), то его вес особой роли не играет. Но масса тела весьма существенна. В следующей главе мы увидим, сколь важно проводить различие между массой и весом.

Декарту, философу глубокому и весьма авторитетному, мы обязаны тем, что начиная с XVII в. математика вышла на передний край науки, и это позволило человечеству открыть особенности многих явлений природы, которые, не будь математики, так и остались бы неизвестными.

Мы могли бы рассказать о многих конкретных математических достижениях Галилея, например о предложенном им математическом описании движения свободно падающего тела, но для нас наибольший интерес представляет его методология. Своей работой «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (1638) Галилей направил физическую науку по математическому пути, заложил основы современной механики и создал прообраз современной научной мысли. Как мы далее увидим, Ньютон, восприняв методологию Галилея, дал непревзойденные доказательства ее эффективности.

VI

Математика и загадка тяготения

Причину же этих свойств силы тяжести я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю… Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря. {5}

Ньютон

В 1642 г., в год смерти Галилея, на ферме близ небольшой английской деревушки, у одной незадолго до того овдовевшей женщины родился недоношенный ребенок. Несмотря на столь неблагоприятные обстоятельства рождения и здоровье, столь слабое, что мать всерьез опасалась за жизнь ребенка, Исаак Ньютон (1642-1727) дожил до восьмидесяти пяти лет и снискал славу одного из величайших представителей рода человеческого. Как мы увидим в дальнейшем, Ньютон в своей работе по существу следовал методологии Галилея, продолжая и развивая ее. Как заметил однажды Алфред Норт Уайтхед, «Галилей знаменует первый приступ, Ньютон — окончательную победу».

Если не считать ярко выраженного интереса к механическим устройствам, Ньютон не подавал особых надежд в юности. Поскольку он не проявлял никакого интереса к сельскому хозяйству, мать отправила его в Кембридж, и в 1661 г. он поступил в Тринити-колледж (колледж св. Троицы). Хотя пребывание в стенах прославленного колледжа давало его воспитанникам определенные преимущества, например возможность изучать труды Декарта, Коперника, Кеплера, Галилея или слушать лекции знаменитого математика Исаака Барроу, Ньютон, насколько можно судить, извлек немного пользы из учебы. Он был слаб в геометрии и даже подумывал заняться изучением права вместо натурфилософии. Четыре года обучения завершились столь же незаметно, как и начались.

В год, когда Ньютон окончил колледж в Лондоне, в его округе разразилась эпидемия чумы. Кембриджский университет был закрыт. Ньютону не оставалось ничего другого, как уединиться в тиши родительского дома в Вулсторпе, где он провел безвыездно 1665-1666 гг. В этот период он начал свои работы по механике, математике и оптике, завершившиеся триумфальным успехом. Ньютон осознал, что открытый им закон всемирного тяготения дает ключ ко всей механике; он разработал также общий метод решения задач математического анализа и, проведя серию экспериментов, совершил эпохальное открытие, установив, что белый солнечный свет включает в себя все цвета радуги от красного до фиолетового. Сам Ньютон-впоследствии так охарактеризовал этот период: «Я был в то время в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо после» ([20], с. 31-32).