Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики - Роджер Пенроуз

Рис. 3.8. Изображение комплексного числа z = х + iy на плоскости Аргана

Обратите внимание, что число 0 (рассматриваемое как комплексное число) соответствует началу координат, а число 1 — одной из точек на оси х.

Плоскость Аргана есть просто способ геометрически наглядной организации семейства комплексных чисел. Такое представление не является для нас чем-то совершенно новым. Мы уже знакомы с геометрическим представлением действительных чисел — в виде прямой линии, простирающейся на неограниченное расстояние в обоих направлениях. Одна из точек обозначена как 0, а еще одна — как 1. Точка 2 смещена относительно точки 1 равно настолько, насколько точка 1 смещена относительно точки 0; точка 1/2 расположена в точности посередине между точками 0 и 1; точка -1 расположена так, что точка 0 находится в точности посередине между точками -1 и 1, и т. д., и т. п. Отображенное таким образом множество действительных чисел называется действительной прямой. В случае комплексных чисел у нас есть уже целых два действительных числа — а и b — которые могут рассматриваться как координаты комплексного числа а + ib. Эти два числа дают нам две координаты точки на плоскости, в данном случае — на плоскости Аргана. Для примера я указал на рис. 3.9 приблизительные положения комплексных чисел

u = 1 + i 1,3, v = -2 + i, w = -1,5 — i 0,4.

Рис. 3.9. Расположение чисел u = 1 + i1,3, v = -2 + i, ω = -1,5 — i0,4 на плоскости Аргана

Теперь основные алгебраические операции сложения и умножения комплексных чисел приобретают ясную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим сначала сложение. Предположим, что u и v это два комплексных числа, представленные на плоскости Аргана в соответствии с описанной выше схемой. Тогда сумма этих двух чисел u + v представляется «векторной суммой» двух точек, то есть точка u + v находится на месте недостающей вершины параллелограмма, образованного точками u, v и началом координат 0. Нетрудно убедиться, что эта конструкция (рис. 3.10) действительно дает сумму двух чисел, но соответствующее доказательство я здесь опускаю.

Рис. 3.10. Сумма u + v двух комплексных чисел определяется по правилу параллелограмма

Произведение uv двух комплексных чисел тоже имеет простую, хотя и, быть может, несколько менее очевидную геометрическую интерпретацию (рис. 3.11). (Я опять опускаю доказательство.)

Рис. 3.11. Произведение uv двух комплексных чисел u и v — это такое число, что треугольник, образованный точками 0, v и uv, подобен треугольнику, образованному точками 0, 1 и u. То же самое можно сформулировать иначе: расстояние точки uv от 0 равно произведению расстояний от 0 до точек u и v, а угол между uv и действительной (горизонтальной) осью равен сумме углов между этой осью и отрезками к точкам и и v

Угол при начале координат между 1 и uv равен сумме углов между 1 и v и между 1 и u (все углы измеряются против часовой стрелки), а расстояние точки uv от начала координат равно произведению расстояний от начала координат до u и v. Это эквивалентно утверждению, что треугольник, образованный точками 0, v и uv подобен (и ориентирован подобно) треугольнику, образованному точками 0, 1 и u. (Энергичные читатели, не знакомые с такого рода построениями, могут сами убедиться в том, что эти построения непосредственно следуют из только что приведенных алгебраических правил сложения и умножения комплексных чисел, также как и упомянутые выше тригонометрические тождества.)

Построение множества Мандельброта

Теперь мы можем рассмотреть, как определяется множество Мандельброта. Пусть z — это некоторое произвольное комплексное число. Каковым бы ни было это число, оно представляется некоторой точкой на плоскости Аргана. Рассмотрим теперь отображение, при котором z превращается в новое комплексное число, равное

z → z2 + с,

где с есть некое фиксированное (то есть заданное) комплексное число. Числу z2 + с будет сопоставляться некоторая другая точка на плоскости Аргана. Например, если с равно числу 1,63 — i4,2, то z отображается согласно формуле

z → z2 + 1,63 — i4,2,

так что, в частности, число 3 превратится в

З2 +1,63 — i4,2 = 9+1,63 — i4,2 = 10,63 — i4,2,

а число -2,7 + i0,3 в

(-2,7 + i0,3)2 + 1,63 — i4,2 =

= (-2,7)2 — (0,3)2 + 1,63 +

+ i{(-2,7)(0,3) — 4,2} = 8,83 — i5,82.

Когда числа становятся громоздкими, вычисления лучше выполнять на компьютере.

Теперь, каково бы ни было число c, число 0 превращается, согласно принятой схеме, в число с. А что же можно сказать о самом числе с? Оно превращается в с2 + с. Давайте продолжим этот процесс, применив наше преобразование к с2 + с. Мы получим:

(с2 + с)2 + с = с + 2 с + с2 + с.

Снова повторим отображение, применив его к приведенному выше числу. Мы получим:

(с4 + 2 с3 + с2 + с)2 + с =

= с8 + 4с7 + 6 с6 + 6с5 + 5с4 + 2 с3 + с2 + с.

Потом еще раз применим процедуру, теперь уже к последнему числу, и т. д. В результате мы получаем последовательность комплексных чисел, которая начинается с числа 0:

0, с, с2 + с, с4 + 2с3 + с2 + с…

Данная процедура, будучи реализована при некоторых определенных значениях комплексного числа с, дает последовательность чисел, которые все время остаются вблизи начала координат плоскости Аргана; точнее, для выбранных таким образом значений с получаемая последовательность оказывается ограниченной, то есть любой ее член находится в пределах некоторого фиксированного круга с центром в начале координат (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Последовательность точек на плоскости Аргана ограничена, если вся она целиком помещается в пределах некоторого фиксированного круга. (Итерация на рисунке начинаетсл с точки 0 и построена для с = — l/2 + (l/2)i.)

Хорошим примером здесь может служить последовательность с = 0, поскольку каждый ее член равен 0. Другим примером ограниченного поведения является случай с = 1, при котором получается последовательность 0, -1, 0, -1, 0, -1….; еще один пример — это с = i, когда получается последовательность 0, i, i — 1, -i, i — 1, -i, i — 1, -i….. Однако, для целого ряда других комплексных чисел с получаемая последовательность все дальше удаляется от начала координат, то есть является неограниченной и не может находиться целиком в пределах фиксированного круга. Именно так происходит при с = 1, когда получается последовательность 0, 1, 2, 5, 26, 677,458 330….; аналогичное поведение имеет место в случае с = 3 — соответствующая последовательность имеет вид 0, -3, 6, 33,1086….; а также случай с = i — 1, который приводит к последовательности 0, i — 1, -i — 1, -1 + 3i, — 9 — i5, 55 + i91, -5257 + i10011,