Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее - Барбара Оакли

Придумайте яркую визуальную метафору или аналогию

Один из лучших способов не просто запомнить, а постигнуть смысл математического и естественно-научного понятия — придумать для него метафору или аналогию, причем чем более зримым будет образ, тем лучше [1]. Метафора — отличный способ увидеть, что один предмет похож на другой. Простейшие сравнения — как, например, предложенные одним преподавателем, который, описывая очертания некоторых стран, уподобил Сирию (Syria) миске каши (cereals), а Иордан (Jordan) — кроссовкам Nike Air Jordan, — могут остаться в памяти учащихся на десятки лет.

Если вы пытаетесь понять феномен электрического тока, можно вообразить его в виде воды, а электрическое напряжение — как давление. Напряжение гонит электрический ток в нужном вам направлении, как механический насос качает воду за счет физического давления. Продвигаясь к более глубинному пониманию электричества или любого другого изучаемого вами явления, вы можете пересматривать метафоры или избавляться от старых в пользу более осмысленных.

Если вы изучаете понятие предела в математике, представьте себе бегуна на финишной прямой. Чем ближе спортсмен к финишной ленте, тем медленнее он движется: будто в замедленной съемке, где бегун так и не касается ленты — так же, как и мы никогда не можем физически достичь истинного предела. Книга Сильвануса Томпсона «Упрощенное исчисление» (Calculus Made Easy) помогает освоить математику целым поколениям студентов. Порой учебники описывают такое количество деталей, что учащиеся могут упустить важные понятия, составляющие общую картину. Скромные на вид книги вроде упомянутой хороши тем, что простыми способами помогают сосредоточиться на самом главном.

Порой полезно вообразить даже самого себя тем понятием, которое вы пытаетесь усвоить. Поставьте себя на место электрона, уносящегося в глубины медного бруска, или загляните внутрь икса, стоящего в алгебраическом уравнении, и представьте себе, каково это — то и дело высовывать голову из кроличьей норы (только не дайте ему погибнуть от неосторожного деления на ноль!).

Лунные лучи и школьные сны

«Я всегда занимаюсь перед сном, и почему-то мне обычно снится то, что учу. Такие “школьные сны” по большей части странны, но благотворны. Например, когда я ходил на лекции по технологическим операциям, мне снилось, будто я бегаю туда-сюда между узлами технологической цепи, физически воспроизводя алгоритм определения кратчайшего расстояния. Меня считают сумасшедшим, а мне такие сны полезны — ведь мне приходится заниматься меньше, чем другим! Наверное, эти сны появляются потому, что мое подсознание пытается создавать метафоры для изучаемого материала».

Энтони Шуто, выпускной курс, промышленное и системное машиностроение

Метафоры никогда не идеальны, но ведь все научные модели — всего-навсего метафоры, т.е. они тоже на определенном этапе распадаются [2]. Однако и метафоры, и модели жизненно необходимы для понимания центральной идеи, стоящей за математическими или научными процессами или понятиями, которые вы пытаетесь изучить. Интересно, что метафоры и аналогии полезны для выхода из Einstellung — состояния, когда мозг застревает на неверном восприятии какого-либо явления. Например, непритязательный рассказ о солдатах, атакующих крепость сразу со всех сторон, может дать творческий толчок к интуитивному пониманию того, сколько рентгеновских лучей низкой интенсивности можно эффективно использовать для уничтожения раковой опухоли [3].

Метафоры также помогают зафиксировать идею в сознании, поскольку они устанавливают связь с уже существующими нейронными структурами. Это похоже на вычерчивание рисунка по кальке: метафоры по меньшей мере помогают осознать общую картину. Если вам вдруг не удается придумать метафору, просто возьмите ручку или карандаш и положите перед собой лист бумаги. Не важно, чем пользоваться — словами или картинками, но через минуту-другую вы с удивлением увидите результаты такого «бездумного» ничегонеделания.

Метафоры и визуализация в науке

Метафоры и визуализация — способность увидеть нечто внутренним зрением — непревзойденно мощное средство для поддержания научного и технического прогресса [4]. Например, когда в XIX веке химики начали визуализировать миниатюрный мир молекул, это явилось значительным шагом вперед. Вот прекрасная иллюстрация с обезьянами и бензольным кольцом из шуточного немецкого журнала 1886 г., пародировавшего химические статьи [5]. Обратите внимание на одинарные связи, создаваемые обезьяньими лапами, и двойные — созданные с помощью хвостов.

Интервальные повторения как средство уложить знания в памяти

Благодаря концентрации внимания некоторая часть усвояемого материала оказывается в вашей временной рабочей памяти. Однако, чтобы эта часть перешла из рабочей памяти в долговременную, нужны два условия: 1) материал должен быть запоминаемым (у меня на диване гигантский летучий мул, ревущий «f = ma») и 2) требуется повторение. Иначе ваши природные метаболические процессы, как мелкие вампиры, высосут из сознания слабые зарождающиеся паттерны связей. Такое похищение вампирами слабых паттернов на деле полезно: изрядная часть происходящего вокруг вас — довольно тривиальные действия, и если их все запоминать, то станешь похож на скрягу, неспособного оторваться от бездонной коллекции совершенно ненужных воспоминаний.

Если не повторять то, что хочется сохранить в памяти, метаболические вампиры высасывают нейронный паттерн, относящийся к этому воспоминанию, еще до того, как он оформится и окрепнет.

Повторение очень важно. Даже когда вы уже запомнили нужную информацию, повторение надежно укореняет ее в долговременной памяти. Но сколько раз нужно повторять? Сколько времени должно проходить между повторениями? [6] Есть ли средства сделать процесс повторения более эффективным?

Здесь могут помочь данные исследований. Давайте возьмем практический пример. Скажем, вам нужно запомнить сведения, относящиеся к понятию плотности, — а именно то, что она обозначается забавной буквой ρ (произносится «ро») и измеряется в килограммах на кубический метр.

Каким образом можно удобно и надежно уложить эту информацию в памяти? (Теперь вы уже знаете, что укладывание в долговременную память малых порций информации, подобных этой, постепенно приводит к более общему пониманию предмета.) Хороший способ расширить кодирование (т.е. преобразование в нейронные шаблоны памяти) изучаемого материала — ведение записей. Пока вы пишете «килограмм на кубический метр», представьте себе килограмм (почувствуйте эту тяжесть!), болтающийся в огромном чемодане, у которого каждая из сторон — метр длиной. Чем больше изучаемой информации вы превратите в запоминающиеся образы — тем легче вам будет ее вспомнить. Можно прибегать и к слуховым зацепкам: для этого полезно проговаривать слово и его значение вслух.

В качестве следующего шага взгляните на карточку с буквой ρ на лицевой стороне и попытайтесь вспомнить написанное на обороте. Если не можете — переверните карточку и прочтите. Если можете — отложите карточку.

Теперь займитесь чем-то другим: например, сделайте другую карточку и проверьте себя. Когда накопится несколько карточек, пройдитесь по всем сразу и проверьте, сколько из них вы помните (это помогает чередованию видов деятельности). Не огорчайтесь, если кое-что вспомнить не удастся: проверив все карточки, отложите их и пересмотрите еще раз перед сном. Не забывайте: во сне сознание повторяет заложенные в него шаблоны и соединяет части решений в единую картину.

Кратко пересказывайте информацию, которую стремитесь запомнить, в течение нескольких дней, по несколько минут утром и вечером. Время от времени меняйте порядок карточек. По мере того как материал будет надежнее оседать в мозгу, постепенно увеличивайте время между повторениями — так материал лучше закрепится [7]. (Компьютерные системы карточек типа Anki имеют специальный алгоритм повторений, рассчитанный на периоды от нескольких дней до месяцев.)

Интересно, что один из лучших способов запоминать имена людей — мысленно повторять их через увеличивающиеся промежутки времени [8]. Информация, которую вы не повторяете, легко теряется или забывается: метаболические вампиры высасывают ее связки с памятью. Вот почему нужно тщательно относиться к тому, какие фрагменты материала вы решите не повторять перед экзаменами: если вы пытаетесь вспомнить материал, который не повторяли, память может дать сбой [9].

Интервальные повторения полезны и студентам, и преподавателям