Головоломки. Задачи. Фокусы. Развлечения - Яков Перельман

Буквы сильно вытянуты и сужены, поэтому трудно прочесть их прямо. Но когда ваш взгляд скользит вдоль букв, их длина сокращается, ширина же остается прежняя. От этого буквы получают обыкновенный вид, и написанное читается без труда.

Нельзя или можно? (49)

Рассмотрите прилагаемые чертежи, и вы уловите путь, каким надо вести карандаш, чтобы, не отрывая его от бумаги, изобразить требуемые фигуры. Для фигуры креста безразлично, откуда начать рисование, потому что в ней во всех точках пересечения сходятся четное число линий (две или четыре). В остальных двух фигурах надо разыскать «нечетные» точки и из одной из них начинать вырисовывать чертеж.

Путешествие по островам (50)

Маршрут путешествия показан на рисунке. Так как на каждый остров и на берег ведет четное число мостов, то начать странствование можно из любого места.

Три острова (51)

Три пути от рыбачьих поселков к островам показаны на рисунке пунктирными линиями.

Что шире и что выше? (52)

На глаз кажется, что левая фигура шире и ниже, чем правая. Проверив бумажкой, вы убедитесь, что глаза обманули вас: обе фигуры одинаковы и по ширине и по длине. Это обман зрения.

Много ли рыбы? (56)

Помогу читателю разыскать добычу удильщика. Одна рыбина покоится головой вниз на спине рыболова. Вторая поместилась между его головой и руками, держащими удилище. Третья расположилась под его ногами.

Фигурки-головоломки (57)

Посмотрите дальше, как складываются фигурки, изображенные на стр. 99—105.

Юный сторож (58)

Не умел считать крестьянин. Степка же сосчитал правильно. В самом деле: за 1-й час Степке причитался 1 орех, за 2-й — 2, за 3-й — 4, за 4-й — 8, за 5-й — 16, за 6-й — 32, за 7-й — 64, за 8-й — 128, за 9-й — 256, за 10-й — 512. Пока все вместе составляет немного больше тысячи орехов. Но будем продолжать подсчет: за 11-й час Степке следовало 1 024 ореха, за 12-й — 2 048, за 13-й — 4 096, за 14-й — 8 192, за 15-й — 16 384. Числа получаются изрядные; но какие же тут тысячи тачек? Однако:

за 16-й час причитается 32 768

«17-й ««65 536

«18-й ««131 072

«19-й ««262 144

«20-й ««524 288

Все вместе составляет уже больше миллиона орехов! Но сутки не кончены — остается еще 4 часа.

За 21-й час причитается 1 048 576

«22-й ««2 097 152

«23-й ««4 194 304

«24-й ««8 388 608

А если сложить все 24 часа вместе, то составится 16 777 215 — почти 17 миллионов орехов. Это и будет та тысяча тачек, о которой говорил Степка.

Как получить 20? (60)

Вот как это надо сделать (зачеркнутые цифры заменены нулями):

011

000

009

Действительно: 11 + 9 = 20.

Ив семи цифр (61)

Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:

123 + 4–5 — 67 = 55;

1 — 2–3 — 4 + 56 + 7 = 55;

12 — 3 + 45 — 6 + 7 = 55.

Пятью единицами (62)

Написать число 100 пятью единицами очень просто:

111 — 11 = 100.

Пятью пятерками (63)

5 × 5 × 5 — (5 × 5).

Это равно 100, потому что 125 — 25 = 100.

Пятью тройками (64)

33 × 3 +  = 100

Пятью двойками (65)

22 + 2 + 2 + 2 = 28.

Четырьмя двойками (66)Четырьмя тройками (67)

Мы привели здесь только по одному решению, но можно придумать и еще. Например, число 8 можно составить не только так, как здесь показано, но еще и иначе:

Четырьмя четверками (68)Который год? (69)

Будет только один такой год в XX веке: 1961-й.

В зеркале (70)

Единственные цифры, которые не искажаются в зеркале, — это 1, 0 и 8. Значит, искомый год может содержать в себе только такие цифры. Кроме того, мы знаем, что это один из годов XIX века, т. е. что первые его две цифры 18.

Легко сообразить теперь, какой это год: 1818-й. В зеркале 1818 год превратится в 8181-й: это ровно в 4 1/2 раза больше, чем 1818:

1818 × 41/2 = 8181.

Других решений задача не имеет.

Какие числа? (71)

Ответ прост: 1 и 7. Других таких чисел нет.

Сложить и перемножить (72)

Таких чисел сколько угодно:

3 × 1 = 3,

3 + 1 = 4,

10 × 1 = 10,

10 + 1 = 11,

и вообще всякая пара целых чисел, из которых одно — единица.

Это потому, что от прибавления единицы число увеличивается, а от умножения на единицу остается без перемены.

Столько же (73)

Числа эти 2 и 2. Других целых чисел с такими свойствами нет.

Три числа (74)

1, 2 и 3 дают при перемножении и при сложении одно и то же:

1 + 2 + 3 = 6; 1 × 2 × 3 = 6.

Умножение и деление (76)

Таких чисел очень много. Например:

2: 1 = 2;

2 × 1 = 2;

7: 1 = 7;

7 × 1 = 7;

43: 1 = 43;

43 × 1 = 43.

Вдесятеро больше (76)

Вот еще четыре пары таких чисел:

11 и 110; 14 и 35; 15 и 30; 20 и 20.

В самом деле:

11 × 110 = 1210;

15 × 30 = 450;

11 + 110 = 121;

15 + 30 = 45;

14 × 35 = 490;

20 × 20 = 400;

14 + 35 = 49;

20 + 20 = 40.

Других решений задача не имеет. Довольно хлопотливо разыскивать решения вслепую. Знание начатков алгебры значительно облегчает дело и дает возможность не только отыскать все решения, но и удостовериться, что больше пяти решений задача не имеет.

На что он множил? (77)

Рассуждаем так. Цифра 6 получилась от сложения колонки из двух цифр, из которых нижняя может быть либо 0, либо 5. Но если нижняя 0, то верхняя 6. А может ли верхняя цифра быть 6? Пробуем: оказывается, чему бы ни равнялась вторая цифра множителя, никак не получается 6 на предпоследнем месте первого частного произведения. Значит, нижняя цифра предпоследней колонки должна быть 5; тогда над ней стоит 1.

Теперь легко восстановить часть стертых цифр:

Последняя цифра множителя должна быть больше 4, иначе первое частное произведение не будет состоять из четырех цифр. Это не может быть цифра 5 (не получается 1 на предпоследнем мосте). Пробуем 6 — годится. Имеем:

Рассуждая далее подобным же образом, находим, что множитель — 96.

Сестры и братья (78)

Всех семеро: четыре брата и три сестры. У каждого брата три брата и три сестры; у каждой сестры четыре брата и две сестры.

Сколько детей? (79)

Всех детей семь: шесть сыновей и одна дочь. (Обычно же отвечают, что детей двенадцать; но тогда у каждого сына было бы шесть сестер, а не одна.)

Завтрак (80)

Дело объясняется очень просто. Село за стол не четверо, а только трое: дед, его сын и внук. Дед и сын — отцы, а сын и внук — сыновья.

Сколько им лет? (81)

Рассчитать, сколько лет каждому, нетрудно. Ясно, что сын старше внука в 7 раз, а дед в 12 раз. Если бы внуку был 1 год, сыну было бы 7 лет, деду — 12 лет, а всем троим вместе 20 лет. Это ровно в 5 раз меньше, чем на самом деле. Значит, в действительности внуку 5 лет, сыну 35 и деду 60.

Проверим: 5+ 35 + 60 = 100.

Землекопы (82)

На удочку этой задачи легко попасться: можно думать, что если 5 землекопов в 5 часов вырыли 5 метров канавы, то для выкопки в 100 часов 100 метров понадобится 100 человек. Однако, это совершенно неправильное рассуждение: понадобятся те же 5 землекопов, не больше.

В самом деле: 5 землекопов в 5 часов выкапывают 5 метров; значит, 5 землекопов в 1 час вырыли бы 1 метр, а в 100 часов — 100 метров.

Сколько партий? (83)

Обычно отвечают, что каждый играл по одному разу, не соображая, что трое (и вообще нечетное число) игроков никак не могут играть каждый только по одному разу: с кем же тогда играл третий игрок? В каждой партии должно ведь участвовать два партнера. Если играли А, В и С и сыграно было три партии, то это значит, что играли

А с В,

А с С,

В с С.

Легко видеть, что каждый играл не по одному разу, а по два:

А играл с В и с С,

В «с А и с С,

С «с А и с В.