Алиса в стране математики - Лев Генденштейн

— Это были очень длинные полчаса, — перебил его Шляпник. — Чайник уже стоял на столе, но без Сони мы не начинали пить чай!

— Зато как только Соня пришёл, я сразу же налил тебе первую чашку чая, — продолжал Заяц. — Ты выпил её так быстро, что я себе и налить не успел...

— А потом, потом? — торопил Шляпник.

— Без двадцати шесть я налил тебе вторую чашку чая, — напомнил Заяц. — Её ты тоже выпил сразу...

— Значит, чай был не очень горячий, — заметил Шляпник.

— Это из-за Сони! — стал оправдываться Заяц. — Пока мы его ждали, чай остыл...

— Вспоминай дальше! — нетерпеливо перебил Шляпник.

— Третью чашку я налил тебе без десяти шесть, — продолжил воспоминания Заяц.

— Тебе что, чаю жалко? — с подозрением спросил Шляпник.

— Я просто вспоминаю... — робко сказал Заяц.

— Вспоминай о чём-нибудь другом! — предложил Шляпник.

— Но другого ничего не было, — пролепетал Заяц. — Ты только пил чашку за чашкой...

— Хватит! — крикнул Шляпник и ударил по столу. Несколько чашек упали и разбились.

Алиса посмотрела на черепки вокруг стола и спросила у Зайца:

— А где вы берёте новые чашки?

— Не отвлекайся на ерунду! — раздражённо заметил Шляпник. — Что было дальше? — обратился он к Зайцу.

— Без одной минуты шесть я налил тебе четвёртую чашку... — с опаской произнёс Заяц.

— Четвёртую чашку я выпил залпом! — неожиданно просиял Шляпник. — Это я хорошо помню: чай стал совсем холодным! Но когда я поставил чашку на стол, шести часов ещё не было — часы ещё не били!

— Не было, не били, — сразу согласился Заяц. — Но до шести часов оставалась всего одна секунда: часы как раз начали хрипеть...

Все невольно снова прислушались: часы по-прежнему хрипели.

— А что было после того, как я поставил чашку на стол? — после некоторого молчания спросил Шляпник. — Ведь до шести часов оставалась ещё целая секунда!

— По-моему, ничего больше уже не было, — тихо сказал Заяц и начал снова залезать под стол.

— Значит, по-твоему, — так же тихо спросил Шляпник, в упор глядя на Зайца, — без одной секунды шесть — это последний момент перед шестью часами?

Заяц задрожал так сильно, что чашки на столе задребезжали.

— Перестань дрожать! — заорал Шляпник, отчего чашки задребезжали ещё сильнее, а несколько чашек снова скатились со стола. — Ведь был ещё момент, когда до шести часов оставалось полсекунды — разве ты этого не помнишь?

— П-п-помню, — раздался уже из-под стола голос Зайца, — я помню, что этого я уже не помню...

— Даже если ты этого не помнишь, такой момент всё равно был! — продолжал бушевать Шляпник.

— Если уж на то пошло, — сказал Заяц, высунув уши из-под стола, — так и этот момент не был последним перед шестью часами! Полсекунды можно ещё раз разделить пополам — значит, был и такой момент, когда до шести часов оставалась только четверть секунды...

— Последним был тот момент, когда я заснул! — объявил вдруг Соня.

— Твой последний момент наступит сейчас! — снова рассвирепел Шляпник, схватил Соню и так широко размахнулся, будто собрался забросить его на Луну.

— Что вы делаете? — не выдержала Алиса.

— Не отвлекайся, — строго сказал ей Шляпник и посадил Соню на чайник. — Думай о последнем моменте и ни о чём больше!

— Я буду думать о том, о чём я захочу! — заявила Алиса.

— А о чём ты хочешь думать? — поинтересовался Шляпник.

— Я... я ещё не решила, — растерялась Алиса.

— Тогда почему бы тебе не думать о последнем моменте? — спросил Заяц, вылезая из-под стола.

— Не буду! — упрямо сказала Алиса.

— Не будешь? — нахмурившись, переспросил Шляпник.

— Не буду, — повторила Алиса. — Пусть он хоть всю посуду перебьёт! — подумала она про себя.

— Ладно, — неожиданно согласился Шляпник. — Но только давай честно: раз ты сказала, что не будешь думать о последнем моменте, так не думай! Обещаешь?

— Обещаю, — сердито буркнула Алиса. Наступило молчание. Шляпник тихонько барабанил пальцами по столу, Заяц медленно мешал ложечкой чай, а Соня, сидя на чайнике, клевал носом.

Алиса честно пыталась выполнить своё обещание — не думать о последнем моменте перед шестью часами. Но удивительное дело — чем больше она старалась об этом не думать, тем настойчивее это лезло ей в голову!

— Какой же момент, действительно, последний? — крутилось у Алисы в голове помимо её воли. — Ведь даже когда до шести часов остаётся всего одна миллионная доля секунды, её снова можно разделить пополам — значит, есть и такой момент, когда до шести часов остаётся одна двухмиллионная доля секунды... но и этот момент не последний: делить пополам можно без конца... Делить без конца! — воскликнула она про себя, и у неё вырвалось:

— Последнего момента нет вообще, потому что делить пополам можно без конца! Получается, что у этой загадки просто нет отгадки!

И тут Алиса увидела, что Заяц и Шляпник ужасно расстроились: Заяц готов был заплакать, а Шляпник утратил весь свой пыл и смотрел перед собой пустыми глазами.

— Но почему вас так огорчает, что последнего момента перед шестью часами нет? — удивилась Алиса.

— Неужели ты не понимаешь? — грустно сказал Шляпник. — Ведь если последнего момента нет, значит, шесть часов не наступят никогда...

— Почему? — спросила Алиса.

— Потому что они могут наступить только после этого момента, а его-то как раз и нет! — ответил Шляпник.

Тут Соня качнулся чуть сильнее и... свалился с чайника головой в торт!

КАК РЕШАЮТСЯ ЗАДАЧИ БЕЗ РЕШЕНИЙ

Казалось бы, кому могут быть интересны загадки без отгадок, или, говоря языком математиков, задачи, у которых нет решений? Однако именно такие задачи приковывали внимание математиков в течение тысячелетий: эти непокорные задачи были вызовом человеческому уму, и поэтому они интриговали математиков так же сильно, как сыщиков — тайны загадочных преступлений.

Вот история трёх знаменитых задач, пришедших из глубокой древности.

Первая задача называется «квадратура круга»: как построить круг и квадрат одинаковой площади, пользуясь только циркулем и линейкой без делений?

Примерно так выглядят круг и квадрат одинаковой площади — чтобы закрасить их одним и тем же слоем краски, понадобится одинаковое количество краски

Условие задачи кажется настолько простым, что за неё берётся даже тот, кто только начал знакомиться с геометрией, однако решить её не удалось даже величайшим математикам! Правда, Архимед придумал способ, как можно подойти к точному решению сколь угодно близко.

Шли века и тысячелетия, но задача о квадратуре круга оставалась непобедимой. И только в конце XIX века немецкий математик Линдеман нашёл неожиданное решение этой задачи: он строго доказал, что с помощью только циркуля и линейки построить круг и квадрат одинаковой площади невозможно! Это доказательство произвело на математиков такое сильное впечатление, что Линдемана нарекли «победителем задачи о квадратуре круга». Такой титул говорит, что строгое доказательство отсутствия решения математики считают тоже решением: ведь решить задачу — это найти все решения или доказать, что решений нет!

Вторая знаменитая задача называется «удвоение куба». О происхождении этой задачи существует даже легенда.

Однажды на острове Делос в Эгейском море вспыхнула эпидемия чумы. В те времена перед чумой были бессильны даже мудрые греки. Единственное, что они могли сделать — обратиться за помощью к богам. Однако беседовать с богами напрямую мог не каждый древний грек — этим занимались только «оракулы», то есть «предсказатели судеб». И вот оракул, посоветовавшись с богом искусств Аполлоном, объявил, что для спасения от чумы надо удвоить золотой жертвенник Аполлону. Этот жертвенник имел форму куба, и жители Делоса поспешили как можно скорей отлить из золота ещё один такой же куб и поставили его поверх первого.

Однако чума не прекратилась.

— Надо удвоить жертвенник, сохранив его форму, — объяснил оракул. — Новый жертвенник должен быть тоже кубом, но чтобы найти размеры нового куба, Аполлон разрешает вам пользоваться только циркулем и линейкой!

Бедные делосцы, не сумев сами решить эту задачу, обратились к знаменитому философу Платону (он так уважал математику, что над входом в сад, где он, прогуливаясь, занимался со своими учениками, велел начертать: «Пусть не входит сюда не знающий геометрии»). Однако и Платон не смог решить задачу об удвоении куба.