Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики - Роджер Пенроуз

Если в голове у математика выполняется очень сложный алгоритм, то у нас не будет возможности узнать, что он из себя представляет, и поэтому мы не сможем сконструировать для него утверждение геделевского типа, не говоря уже об уверенности в обоснованности его применения.

Такого типа возражения часто выдвигаются против утверждений подобных тому, которое я привел в начале этого раздела, а именно, что теорема Геделя свидетельствует о неалгоритмическом характере наших математических суждений. Но сам я не нахожу это возражение слишком убедительным. Предположим на мгновение, что способы, которыми математики формируют осознанные суждения о математической истине действительно являются алгоритмическими. Попробуем, используя теорему Геделя, доказать абсурдность этого утверждения от противного (reductio ad absurdum!).

Прежде всего мы должны рассмотреть возможность того, что разные математики используют неэквивалентные алгоритмы для суждения об истинности того или иного утверждения. Однако — и это одно из наиболее поразительных свойств математики (может быть, почти единственной в этом отношении среди всех прочих наук) — истинность математических утверждений может быть установлена посредством абстрактных рассуждений! Математические рассуждения, которые убеждают одного математика, с необходимостью убедят и другого (при условии, что в них нет ошибок и суть нигде не упущена). Это относится и к утверждениям типа геделевского. Если первый математик готов согласиться с тем, что все аксиомы и операции некоторой формальной системы всегда приводят только к истинным утверждениям, то он также должен быть готов принять в качестве истинного и соответствующее этой системе геделевское утверждение. Точно то же самое произойдет и со вторым математиком. Таким образом, рассуждения, устанавливающие математическую истину, являются передаваемыми[217].

Отсюда следует, что мы, говоря об алгоритмах, имеем в виду не какие-то неясные разномастные построения, которые, возможно, рождаются и бродят в голове каждого отдельного математика, а одну универсально применяемую формальную систему, которая эквивалентна всем возможным алгоритмам, использующимся математиками для суждений о математической истине. Однако мы никак не можем знать, является ли эта гипотетическая «универсальная» система той, которая используется математиками для установления истинности. Ибо в этом случае мы могли бы построить для нее геделевское утверждение, и знали бы наверняка, что оно математически истинно. Следовательно, мы приходим к заключению, что алгоритм, который математики используют для определения математической истины, настолько сложен или невразумителен, что даже правомерность eго применения навсегда останется для нас под вопросом.

Но это бросает вызов самой сущности математики! Основополагающим принципом всего нашего математического наследия и образования является непоколебимая решимость не склоняться перед авторитетом каких-то неясных правил, понять которые мы не надеемся. Мы должны видеть — по крайней мере, в принципе — что каждый этап рассуждений может быть сведен к чему-то простому и очевидному. Математическая истина не есть некая устрашающе сложная догма, обоснованность которой находится вне границ нашего понимания — она строится из подобных простых и очевидных составляющих; и когда они становятся ясны и понятны нам, с их истинностью соглашаются все без исключения.

С моей точки зрения, получить такое явное reductio ad absurdum (без применения настоящего математического доказательства) мы даже и мечтать не могли! Основная идея должно быть теперь ясна. Математическая истина — это не то, что мы устанавливаем просто за счет использования алгоритма. Кроме того, я полагаю, что наше сознание — это решающая составляющая в нашем понимании математической истины. Мы должны «видеть» истинность математических рассуждений, чтобы убедиться в их обоснованности. Это «ви́дение» — самая суть сознания. Оно должно присутствовать везде, где мы непосредственно постигаем математическую истину. Когда мы убеждаемся в справедливости теоремы Геделя, мы не только «видим» ее, но еще и устанавливаем неалгоритмичность природы самого процесса «ви́дения».

Вдохновение, озарение и оригинальность

Я должен попытаться как-то прокомментировать те внезапные вспышки озарения, которые мы называем вдохновением. Откуда берутся все эти мысли и образы? Может быть, они появляются из нашего бессознательного — или все же сознание существенным образом связано с их рождением? Можно привести множество примеров из воспоминаний великих мыслителей, где они прямо указывали на такие события. Как математик, я особенно интересуюсь теми случаями, когда вдохновение посещало именно математиков, но думаю, что между математикой и другими науками и искусством есть много общего. Эта тема великолепно изложена в небольшой работе «Исследования психологии процессов изобретательства в области математики» — классическом труде выдающегося французского математика Жака Адамара — к которой я и отсылаю читателя. В ней он приводит многочисленные примеры озарения в изложении ведущих математиков и не только. Один из наиболее известных случаев связан с Анри Пуанкаре. В начале Пуанкаре описывает свои напряженные сознательные исследования, связанные с построением так называемых «функций Фукса», которые в конце концов явно зашли в тупик. И вот что он пишет далее:

«…Я покинул Кон, где я жил в то время, чтобы принять участие в геологической экспедиции, организованной Горной школой. Впечатления от поездки заставили меня забыть о моей математической работе. Достигнув местечка Кутонс мы сели в омнибус, чтобы добраться на нем до следующего пункта назначения. В тот момент, когда я ставил ногу на подножку, мне пришла в голову идея, которая, казалось, никоим образом не вытекала из моих прошлых раздумий, что преобразования, используемые мной для определения функций Фукса, были идентичны определенным преобразованиям в неэвклидовой геометрии. Я не проверил эту идею. У меня просто не было времени, так как когда я занял свое место в омнибусе, я продолжил прерванную беседу — но я был совершенно уверен в правильности моей догадки. Вернувшись в Кон, я выбрал свободное время и, проверив для собственного спокойствия свое предположение, убедился в его справедливости».

Что поражает в этом примере (как и во многих других, приведенных Адамаром) — это внезапность появления столь сложной и глубокой идеи в сознании Пуанкаре, которое в тот момент было занято совершенно другим; и тот факт, что возникновение этой идеи сопровождалось четким ощущением ее истинности, которую полностью подтвердили последующие расчеты. Тут нужно сразу оговориться, что подобные идеи сама по себе далеко не так просты, чтобы их можно было легко выразить словами. Думаю, что для ясного изложения своих мыслей Пуанкаре потребовалось бы провести примерно часовой семинар для экспертов в этой области. Ясно, что эта идея могла полностью оформиться в сознании Пуанкаре только после долгих часов размышлений, направленных на изучение всех возможных аспектов указанной проблемы. Да, в некотором смысле, идея, осенившая Пуанкаре, когда он садился в омнибус, была «единичной» идеей, которую можно было полностью осознать в один момент. Еще более замечательной представляется убежденность Пуанкаре в ее справедливости — убежденность, которая сделала последующую детальную проверку этой идеи почти что излишней.

Пожалуй, мне стоит попытаться соотнести этот случай с моим собственным опытом, который оказывается в каком-то смысле похожим. На самом деле, я не могу вспомнить ни одной ситуации, когда хорошая идея пришла бы мне в голову «с неба», как это произошло в случае с Пуанкаре (или во многих других известных примерах подлинного вдохновения). Что касается меня, то мне нужно, чтобы выполнялись определенные условия: мне необходимо думать о том вопросе, над которым я в данный момент работаю, пусть даже в «фоновом режиме» и не целенаправленно, но обязательно осознанно; вполне возможно, что при этом я буду заниматься чем-то посторонним и успокаивающе-монотонным, например, бриться; вероятно, я заново возьмусь размышлять о проблеме, которая на некоторое время была отложена в сторону. И, конечно же, нужно посвятить не один час упорным сознательным раздумьям, после которых может потребоваться определенное время для того, чтобы вновь переключиться на решаемую проблему. И, тем не менее, ощущение, когда искомое решение возникает при таких условиях подобно «вспышке» — и при этом ты совершенно уверен в его правильности — мне достаточно хорошо знакомо.