Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика - Антонио Дуран

Однако теорема Ферма оказалась весьма крепким орешком — за два последующих столетия ее удалось доказать лишь для нескольких п: простых n = 3 (Эйлер, 1770), n = 5 (Лежандр и Дирихле, 1825) и n = 7 (Ламе, 1839), а также для составных n = 6, 10 и 14. Полное доказательство теоремы Ферма привел английский математик Эндрю Уайлс лишь в 1994 году. Оно занимает несколько сотен страниц, и в нем используются сложнейшие математические понятия и методы XX столетия.

Уравнение Маркова

Диофантово уравнение, которое мы рассмотрим ниже, названо в честь русского математика Андрея Андреевича Маркова (1856–1922). Оно записывается так:

p2 + q2 + r2 = 3·p·q·r.

Натуральные числа, которые являются решениями этого уравнения (точнее, натуральные числа р, для которых существуют q и r такие, что р, q, r удовлетворяют уравнению), упорядоченные по возрастанию, называются числами Маркова. О них известно немало, но далеко не все. Так, известно, что чисел Маркова бесконечно много и что первые 16 членов ряда таковы:

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, 1597 и 2897.

Существует простой метод, позволяющий получить новые числа Маркова на основе уже известных. Нетрудно показать, что если p1, q1 и r1 удовлетворяют уравнению Маркова и мы запишем р2 = 3·q1·r1 — р1, q2 = 3·p1·r1 — q1, и r2 = 3·p1·q1 — r1, то тройка p2, q1 и r1 также будет удовлетворять уравнению Маркова. Это же будет справедливо для троек р1, р2 и r1, а также p1, q1, r2.

Марков доказал, что все целые положительные решения уравнения Маркова можно получить с помощью этого простого метода, приняв в качестве начальных значений p1 = 1, q1 = 1 и r1 = 1.

Живительно, что уравнение Маркова имеет великое множество решений. Но если его немного изменить, оно не будет иметь ни одного решения: к примеру, уравнение р2 + q2  + r2 = 2·р·q·r не имеет целых положительных решений. В действительности, как доказал Гурвиц, ни одно уравнение вида р2 + q2  + r2 = k·р·q·r не имеет целых положительных решений, за исключением случаев, когда k равно 3 (имеем уравнение Маркова), 1 или 0.

Решения уравнения Маркова р, q и r при р = 1 образуют первую связь с теоремой Гурвица о рациональном приближении. В самом деле, эти решения имеют вид р = 1, q = f2n-1 и r = f2n+1, где fk  — соответствующее число Фибоначчи. Первыми двумя числами Фибоначчи являются f1 = 1 и f2 = 1, каждое последующее число Фибоначчи определяется как сумма двух предыдущих. Имеем: f3 = 1 + 1 = 2, f4 = 3, f5 = 5, f6 = 8, f7 = 13, f8 = 21, f9 = 34 и так далее. Числа Фибоначчи встречаются в природе столь же часто, что и золотое сечение, с которым они тесно связаны: если рассмотреть отношение двух последовательных чисел Фибоначчи, fn+1/fn, то полученные дроби 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8…, будут всё больше и больше приближаться к золотому числу. Приближение вновь будет описываться теоремой Гурвица:

Это соотношение устанавливает неразрывную связь между числами Маркова и рациональным приближением. Очевидно, что эта связь намного прочнее.

Как мы уже отмечали, из-за золотого сечения рациональное приближение, описываемое теоремой Гурвица, нельзя улучшить. Это справедливо для золотого числа Ф и всех иррациональных чисел, эквивалентных ему с точки зрения рационального приближения. Иными словами, речь идет об иррациональных числах вида (m·Ф + n)/(р·Ф + q), где m, n, р, q — произвольные целые числа, которые удовлетворяют условию m·q — n·р = ± 1.

Математик Андрей Андреевич Марков совершил важные открытия в теории чисел и теории вероятностей.

Оставим в стороне золотое сечение и все иррациональные числа, эквивалентные ему. Гурвиц доказал, что его теорема допускает более точную оценку, так как константу 1/√5 можно заменить другой, меньшей константой 1/√8: для произвольного иррационального числа а, за исключением золотого числа и эквивалентных ему, существует бесконечное множество дробей p/q таких, что

Это приближение нельзя улучшить: если принять а = √2, то его рациональное приближение не может быть точнее, чем допускает константа 1/√8, умноженная на число, обратное квадрату знаменателя.

Однако если мы оставим в стороне √2 и все эквивалентные ему, то сможем еще больше улучшить рациональное приближение, заменив константу 1/√8 другой, меньшей константой 5/√221. Для любого иррационального числа а, за исключением золотого числа, квадратного корня из 2 и эквивалентных им, существует бесконечно много дробей вида p/q таких, что

Читатель уже наверняка догадался, что теперь существует еще одно иррациональное число, для которого нельзя улучшить это рациональное приближение. Это число — √221. Если исключить его из рассмотрения, то можно получить новое, еще более точное рациональное приближение — 13/√1517, для которого, в свою очередь, также существует «нежелательное» иррациональное число. Так мы постепенно придем к предельному значению 1/3: для любого иррационального числа а, за исключением полученного списка иррациональных чисел и эквивалентных им, существует бесконечно много дробей вида p/q таких, что

В романе и в реальности, отзвуком которой он является, переплетаются судьбы персонажей, и из тесной паутины взаимоотношений рождается свет, озаряющий тайные стороны человеческой природы.

Подобно тому, как Мартин Марко живет в страхе, опасаясь политических репрессий режима Франко, Хулиту душат нормы национально-католической морали. В то время как для Марко возможен только один выход — сдаться, Хулита и ее жених смогли найти выход из ситуации, преодолеть все препятствия и начали встречаться в доме свиданий. Села великолепно передает все моральные противоречия, с которыми сталкиваются его герои. С одной стороны, донья Виситасьон Леклерк, мать Хулиты и сестра доньи Росы, воплощает лицемерную мораль, которая была столь по душе католическим сановникам того времени. Так, донья Виситасьон из сострадания жертвует деньги на крещение «китайских младенцев», за что, предположительно, Господь дарует ей Царствие Небесное после смерти. С другой стороны, Села рисует образ отца Хулиты, дона Роке Моисеса, бездельника, который удачно женился по расчету. Несколько сцен позволяют понять, какой была национал-католическая мораль времен Франко. В одном из эпизодов Хулита и ее отец встречаются на лестнице апартаментов доньи Селии: Хулита возвращается со свидания, а ее отец идет на встречу с одной из своих любовниц.

Подобно тому, как различные грани человеческой природы в романе передаются сплетением судеб его героев, которые кажутся далекими, так и в математике на первый взгляд не связанные между собой результаты скрывают тайные истины. Именно этим свойством обладают числа Маркова и числовые константы, которые упоминаются в теореме Гурвица, по мере того как мы уточняем рациональное приближение (это золотое число, квадратный корень из 2 и последующие иррациональные числа, для которых нельзя получить более точное рациональное приближение).

Ниже приведены первые четыре числа Маркова, то есть решения диофантова уравнения р2 + q2 + r2 = 3·р·q·r, упорядоченные по возрастанию: 1, 2, 5, 13.

Далее перечислены четыре первые константы, полученные при поиске всё более точных рациональных приближений по теореме Гурвица:

1/√5, 1/√8, 5/√221, 13/√1517.

Подобно тому как жизни Мартина Марко, доньи Росы и Хулиты на страницах «Улья» оказываются неразрывно связанными, так и числа Маркова связаны с рациональными приближениями иррациональных чисел, поскольку именно они определяют различные константы, возникающие при поиске рациональных приближений по теореме Гурвица.