Эврика! Радость открытия. Архимед - Эугенио Агиляр

Трисекция угла с помощью невсиса.

— Дан угол АВС, который следует разделить на три.

— Проводится окружность с центром В любого радиуса, которая пересекает луч В А в точке Р, а луч ВС в точке Q, луч ВС продолжается до прямой, пересекающей окружность в точке R.

— Затем от точки Р проводится прямая STP таким образом, чтобы точка S лежала на прямой CQBR, а Т — на окружности, и при этом выполнялось условие ST = BQ = ВР = ВТ. (Эта операция как раз требует применения невсиса и линейки с разметкой.)

— Далее легко показать: так как треугольники STB и ТВР равнобедренные, то угол BST составляет треть от угла QBP, который требовалось разделить на три.

«ЗАСТЕНЧИВОЕ» ЧИСЛО π

Издревле люди замечали, что все круги, в сущности, представляют собой одну и ту же фигуру, только разных размеров — больше или меньше. Было понятно, что пропорции у них одинаковы, то есть соотношение между длиной окружности и ее диаметром является величиной постоянной. А значит, если разделить длину окружности на ее диаметр, мы всегда получим одно и то же число, определенную постоянную к. Но что это за число? Данный вопрос занимал не только древнегреческих математиков, стоял он и перед мыслителями других культур.

Все окружности имеют одно и то же соотношение (к) длины окружности и диаметра.

Для нахождения этого соотношения потребовались целые столетия и океан чернил. Древние математики пытались обозначить упомянутую пропорцию соотношением целых чисел, так что одно за другим появлялись различные приближения, призванные точнее выразить данную величину. И только в начале XIX века было доказано, что искомое соотношение представляет собой иррациональное число, вот почему все попытки получить его делением натуральных чисел были столь бесплодны. Сейчас это число называется π (греческое «пи»):

длина окружности = π • диаметр

Приближение Архимеда настолько удачно, что оно не только использовалось на протяжении многих столетий, но и сегодня вполне пригодно для решения различных практических задач. Согласно его расчетам, соотношение длины окружности и диаметра выражается формулой L=3,14d.

В поисках числа π

В работе «Об измерении круга» отражены изыскания Архимеда в области соотношения длины окружности (L) и ее диаметра (d). Из утверждения 3 этого трактата следует, что длина окружности в 3,14 раз больше ее диаметра, то есть L = 3,14 d.

Если мы вспомним выражение, знакомое всем со школы (I = π • d), то увидим, что Архимед нашел значение я с точностью до второго знака после запятой, то есть у него π = 3,14. Это приближение использовалось все Средние века, а в некоторых случаях мы работаем с ним и сегодня, хотя и знаем, что на самом деле π — иррациональное число с бесконечным числом знаков после запятой.

Техника, которую применил Архимед для нахождения данного соотношения, была основана на методе исчерпывания, описанном выше. То есть он взял окружность и вписал в нее шестиугольник. Между периметром шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое шестиугольником. Затем он описал еще один шестиугольник вокруг окружности. Между периметром данного шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое окружностью. Естественно, из этого следует, что длина окружности больше периметра вписанного в нее шестиугольника и меньше периметра шестиугольника, описанного вокруг нее.

Можно провести аналогичное умозрительное построение, если использовать понятие площади, причем так будет даже нагляднее. Целью в таком случае будет вычислить площадь круга, ограниченного данной окружностью. Мы знаем, что эта площадь высчитывается по уравнению S = πr². Заметим, что если принять радиус за единицу (r = 1), то площадь будет равна π. Иначе говоря, если мы вычислим площадь окружности с радиусом 1, то получим число π. Архимед предполагал построить круг и как вписывать в него, так и описывать вокруг него правильные многоугольники, начиная с шестиугольника. Площадь круга Sc будет больше площади вписанного шестиугольника SHp и меньше площади описанного SHG (см. серые сегменты на рисунке 1). Этим методом невозможно точно определить площадь, но можно установить ее пределы: 2,5981 < S < 3,4641, то есть она больше площади маленького шестиугольника (2,5981) и меньше площади большого (3,4641). Гениальная находка Архимеда состояла в том, чтобы удвоить число углов многоугольника, доведя его до 12-угольника (рисунок 2). В данном случае значение площади круга лежит между двумя более близкими величинами, так что расчет становится более точным, поскольку площади обоих многоугольников приближаются друг к другу.

РИС. 1

РИС. 2

Архимед продолжил удваивать число углов дальше и в конце концов дошел до многоугольника с 96 сторонами! Это позволило ему доказать, что значение площади круга лежит между 3+10/71 и 3+1/7:

«Окружность любого круга составляет три его диаметра и еще менее 1/7 и более 10/71 его части» («Об измерении круга», утверждение 3):

3 + 10/71 < Sc <3 + 1/7, то есть, 3,1408 < Sc < 3,14029.

Таким образом, площадь круга с радиусом 1 составит 3,14, с точностью до двух знаков после запятой. Тут важно отметить: Архимед знал, что он вывел неточное значение. Ведь помещая площадь между двумя разными значениями, ученый прекрасно понимал, что выполняет только приближение.

Окружность в квадрате

Согласно еще одному интересному рассуждению, которое можно найти в трактате «Об измерении круга», площадь вписанного в квадрат круга относится к площади этого квадрата как 11/14. И в данном контексте мы тоже приходим к тому же значению π — приблизительно 3,14. Рассмотрим следствие из этого положения. Во- первых, давайте внимательнее посмотрим на чертеж справа.

Площадь круга: Sкруга = πr².

Площадь квадрата: Sквадрата = (2r)²=4r².

Соотношения, которые их связывают:

площадь круга/площадь квадрата = πr²/4r² = π/4

То, что выяснил Архимед:

площадь круга/площадь квадрата = 11/14

Очевидно, что это одна и та же величина, и мы помним, что все выкладки Архимеда приблизительны:

π/4 ~ 11/14 ~ 3.14

Доказательство от противного

В трактате «Об измерении круга» утверждается:

Каждый круг равен прямоугольному треугольнику, один из катетов которого равен радиусу круга, а другой — длине окружности.

Имеется в виду равенство их площадей. Для доказательства (см. рисунок) ученый приводит следующие соображения.

— «Предположим, что площадь круга больше площади треугольника: Sкруга > Sтреугольника». Архимед показывает, что такое неравенство невозможно.

— «Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника: Sкруга < Sтреугольника». Архимед доказывает, что невозможно и это.

— Учитывая, что площадь круга не может быть ни меньше, ни больше площади треугольника, они должны быть равны: Sкруга = Sтреугольника.

Пользуясь нынешним алгебраическим языком, вышесказанное можно доказать гораздо легче:

— Sкруга = πr².

— Sтреугольника = (основание • высота)/2 = 2πr*r/2 = πr²

— Что означает: Sкруга = Sтреугольника.

Пусть это изобразят на моем надгробии!

В утверждении 34 трактата «О шаре и цилиндре» содержится результат, которым, как нам точно известно, более всего гордился Архимед:

Соотношение объемов цилиндра и вписанного в него шара равно 3/2. Соотношение площадей поверхности цилиндра и вписанного в него шара также равно 3/2 (см. рисунок):

Vцилиндра 3/2 Vшара

Sцилиндра = 3/2 Sшара

Он смог найти абсолютно точное отношение между объемами шара и цилиндра, в который тот вписан. Речь идет о случае, когда диаметр шара равен как диаметру основания цилиндра, так и его высоте. Объем цилиндра получается в полтора раза (3/2) больше объема шара. Такое же соотношение и у площадей их поверхностей. Как мы уже говорили, Архимед даже завещал выбить изображение шара, вписанного в цилиндр, на своем надгробном памятнике вместо эпитафии. В I веке до н. э. Цицерону, по его словам, удалось увидеть это надгробие. До нашего времени оно, к сожалению, не дошло.

РИС.З

РИС. 4

Чтобы получить нужный результат, Архимед использовал различные определения, постулаты и утверждения, попутно найдя важные соотношения площадей других фигур. «О шаре и цилиндре» — это трактат, состоящий из двух книг, написанных в разные годы его жизни. Первая книга служит теоретической основой для второй, представляющей собой ответы на вопросы Досифея, которому она и посвящена. Первая книга заключает в себе 44 утверждения, шесть определений и пять постулатов. Кроме того, некоторые утверждения содержат важные следствия: например, рассматриваемое соотношение между шаром и цилиндром представлено в форме следствия из двух утверждений. Речь идет об утверждениях 33 и 34.