История античной науки. Открытия великих ученых и мыслителей древности - Джордж Сартон

Он был учеником Аристиппа Киренского, а тот, в свою очередь, был учеником Сократа. Феодора Атеиста изгнали из Кирены; некоторое время он жил в Александрии. В конце жизни ему разрешили вернуться в родной город, где он и умер (примерно в конце IV в.). Иными словами, два Феодора Киренских не были современниками. Математик жил во второй половине V в., а философ – во второй половине IV в.

Математик Феодор Киренский лучше всего известен нам благодаря началу «Теэтета», где Феодор называется знаменитым учителем. Тогда (в 399 г.) он был стариком, поэтому можно предположить, что он родился около 470 г. Говорят, что Платон навещал его в Кирене; во всяком случае, в конце века Феодор побывал в Афинах. Он принадлежал к сократическому кружку и учил (или мог учить) Платона математике. Ему приписывают единственное математическое открытие, однако оно поразительно. Говорят, что он доказал, что все квадратные корни неквадратных целых чисел от 3 до 17 являются иррациональными.

Важно, что открытие иррациональности квадратного корня из 2 ему не приписывали, что может означать только одно: об этом стало известно до него. В самом деле, открытие приписывают ранним пифагорейцам. Открытие иррациональности √2 было поразительным сюрпризом, и пифагорейцы, кажется, какое-то время считали его исключением.

Квадратный корень из 2 появляется вполне естественно и просто, потому что это диагональ единичного квадрата (стороны и площадь которого равны 1). Как ранние пифагорейцы открыли иррациональность √2?

Вначале позвольте представить еще одного человека, Гиппаса из Метапонта, раннего пифагорейца, о котором рассказывали удивительные истории. Говорят, его изгнали из пифагорейской школы за то, что он раскрывал посторонним математические секреты. По одной легенде, он рассказал о построении додекаэдра в шаре и выдал открытие за свое; по другому преданию, он раскрыл открытие иррациональных чисел – что, вполне возможно, относится к √2 и √5. Прежде чем оставить Гиппаса, о нем следует сказать еще кое-что. Ранние пифагорейцы различали три вида средних величин: среднее арифметическое, среднее геометрическое и субконтрарное. Гиппас предложил называть третью величину средним гармоническим. Название подходило благодаря значимости гармонии в теории музыки. Он же дал определение еще трем средним величинам. Давайте вернемся к открытию иррациональных чисел, что для математиков VI и V вв. стало своего рода логическим скандалом.

Иррациональное число (alogos) – такое число, которое невозможно представить в виде частного двух целых чисел; открытие возникло из потребности измерения геометрических величин, когда стала ясна несоизмеримость диагонали и стороны единичного квадрата.

Как можно было доказать существование иррациональных чисел? Традиционное доказательство принадлежит Аристотелю; оно строится на сведении к абсурду. Оно настолько коротко и просто, что мы его воспроизведем.

Представьте квадрат со стороной а и диагональю с. Мы должны доказать, что а и с несоизмеримы. Допустим, что они соизмеримы и их соотношение с /а выражается простейшим образом в виде γ/α. Тогда с2а2 = γ2/α2; но с2 = 2а2; таким образом, γ2 = 2α2. Отсюда γ2 – четное число и γ – четное число, а α должно быть нечетным. Если γ – четное число, можно записать, что γ = 2β; тогда γ2 = 4β2 = 2α2, поэтому α2 = 2β2. Отсюда следует, что α2 – четное число и α – четное число. Получается, что число а одновременно четное и нечетное, что невозможно; поэтому а и с несоизмеримы.

Вполне возможно, что первые иррациональные числа были открыты Гиппасом (если не раньше), но доказать это невозможно. Очень хочется прийти к такому выводу благодаря распространенности преданий, а также и из-за того, что такая гипотеза почти не оставляет времени для развития теории иррациональности. Однако доказательство иррациональности квадратного корня из 2, приведенное выше, при всей его простоте требовало некоторой абстракции, которая едва ли была возможна во время Гиппаса, скажем, в начале V в. Согласно еще одному преданию, Гиппасу приписывали некоторые познания в построении додекаэдра, геометрического тела правильной формы, 12 граней которого представляют собой правильные пятиугольники. Интерес к пятиугольнику был вполне естественным для пифагорейцев, чьим символом была пентаграмма (правильный многоугольник, полученный соединением вершин правильного пятиугольника через одну).

Рис. 59. Пятиугольники и пентаграммы

К.А. Курт фон Фриц (1900–1965) выдвинул очень интересную гипотезу. Согласно ей, интерес Гиппаса к пентаграммам и пятиугольникам, числам и их отношениям привел бы его к понятию несоизмеримости. Как ремесленнику найти общую меру двух отрезков, А и Б? Он наверняка попытается измерить более длинный отрезок А с помощью более короткого В, а если не получится, он попробует измерить отрезок А с помощью частей отрезка В. В данном случае такой метод применить нельзя из-за приблизительности и несовершенства физических измерений. Однако, если Гиппас рассматривал пятиугольник с его диагоналями, он наверняка заметил, что диагонали пятиугольника составляют пентаграмму и заключают в себе меньший пятиугольник (рис. 59). Тот же процесс можно продолжить, что уже было бы достаточно соблазнительно. На практике такой процесс невозможно продолжать очень долго, но очевидно, что в теории его можно продолжать до бесконечности, а это означает, что диагонали и стороны невозможно свести к общей мере, то есть они несоизмеримы.

Возможно, Гиппас открыл несоизмеримые числа интуитивно, до того, как их существование было полностью доказано. Возможно даже, что греческие математики еще до конца века начали рассматривать более сложные случаи. В «Гиппии Большем» (303 г. до н. э.) встречается ремарка: подобно тому как четное число может быть суммой двух четных или двух нечетных чисел, так и сумма двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом. «И что же мешает, чтобы из двух величин, составляющих вместе четное число, каждая в отдельности была бы то нечетной, то четной или, опять-таки, чтобы две величины, каждая из которых неопределенна, взятые вместе, давали бы то определенную, то неопределенную величину и так далее во множестве других случаев»[53].

Рис. 60. Простое построение различных несоизмеримых чисел

Если Гиппас открыл иррациональность √2 и √5, как Феодору удалось найти другие иррациональные числа, вплоть до √17? Возможно, многие из них ему удалось построить довольно легко, как показано на рис. 60. Как только поняли и признали возможность существования иррациональных чисел, найти новые стало нетрудно. Однако возникли препятствия другого рода: если существуют числа, которые невозможно представить в виде пропорции вида n/m, значит, больше нельзя утверждать, что верны подобия пифагорейцев между числами и линиями или между арифметикой и геометрией – или все-таки можно? У нас нет причин предполагать, что эти