ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ - Сергей Бобров

— А что ты скажешь о противниках Галилея?

— Ученые средних веков очень любили в своих длинных рассуждениях пускаться в разного рода сравнения (аналогии).

Им казалось, что если они сумеют удачно сравнить одно малоизвестное людям явление с другим хорошо известным, то суть первого явления станет тем самым совершенно ясной. И если они знали по какому-нибудь поводу несколько таких сравнений, особенно из высказанных древними авторами, им казалось, что они уже одолели этот вопрос целиком. Но когда надо было выяснить, как летит пуля, выпущенная из ружья, то ведь эти побасенки ничем помочь не могли. Был в Италии в старые времена такой замечательный скульптор и золотых дел мастер Бенвенуто Челлини[31]. Он участвовал в одной из тогдашних войн. В своих воспоминаниях он касается своих военных

— 388 —

подвигов и рассказывает, как однажды успешно обстрелял из пищали неприятельских солдат навесным огнем, добавляя при этом, что достиг успеха, исключительно будучи прекрасным практиком, потому что, уверяет он, «по науке» обстрелять противника на таком расстоянии было нельзя. Почему нельзя? Потому что тогда твердо верили, что, во-первых, пуля летит горизонтально, а во-вторых, что сила снаряда убывает по мере удаления от дула орудия. Поэтому, когда великий самоучка Тарталья, переводчик Евклида и Архимеда, составитель первой таблицы удельных весов, стал объяснять артиллеристам, какова траектория нули (он ее определял только приблизительно), то удивлению их не было границ. Простые и очевидные вещи проходили мимо внимания «книжников» и практиков, а всякие затейливые фантазии влекли их к себе. Тебе это понятно?

— Какие фантазии?

— Взять, например, хоть так называемые дружественные числа. Такими были, скажем, числа 220 и 284, так как каждое из них равняется сумме делителей другого. Действительно:

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110;

220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142

Чтобы поболтать о том, что такое очень крепкая дружба и какие именно люди могут подружиться, эти числа просто незаменимы. Вот, например, какую я слышал на эту тему притчу.

Некий мудрец спрошен был, что есть дружба, и отвечал на это так: «Если бы взял я два целых числа, 284 и 220, то мне сказали бы, что они мало чем друг на друга похожи. А я бы на то ответствовал: так кажется тому, кто не хочет проникнуть вглубь своей мыслью. А мудрец через тайны счета познает, что если найти все делители, на которые делится одно из чисел без остатка, и тем путем узнать, на какие его части разъять можно, то, стожив затем все делители, я получу второе из названных чисел. А если тем же порядком разъять на части второе, то, сложив, получу первое. Вот что есть дружба! Она тогда крепка бывает, если качества одного друга в сердце другого по-иному соединяются». А вот и другая легенда о тех же числах. Жили-были два друга, и крепко они друг друга любили.

Вот одного из них и спросили: «Ценишь ли ты своего друга?» Тот отвечал на это: «Ценю, ибо знаю ему цену». — «Во что же ты его ценишь?» И на это спрошенный ответил так: «Если бы я собрал воедино все, на что я готов поделиться для друга моего, то это как раз и была бы цена другу моему, и тем бо-

— 389 —

лее она справедлива, что и он меня в ту же цену ценит». Имя первого друга есть число, которое мы можем изобразить так:

23 · 19 · 41,

а имя второго — это другое число:

25 · 199.

Вот какова вторая легенда. Получаются такие занимательные арифметические басенки о дружбе, но математическое содержание их ничтожно, а именно такими-то вещами и любили заниматься схоласты. Вот тебе еще две пары дружественных чисел:

I) 2620 и 2924;

II) 5020 и 5564.

— Это смешно, — ответил Илюша, — но разве такие сравнения или аналогии совсем уже никуда не годятся?

— Почему же! — отвечал Радикс. — Иные аналогии очень даже полезны, когда они что-нибудь объясняют нам. Один физик утверждал, например, что мир (то есть Вселенная) безграничен, но конечен. Чтобы не путаться, мы не станем обсуждать, прав он или нет, а разберем только одно остроумное сравнение, благодаря которому ему удалось сделать свою мысль понятной. Он начал с такого образа. Возьмем прозрачную сферу, положим ее на плоскость, которая простирается повсюду безгранично. Пусть сфера касается этой плоскости в точке S. Тогда в противоположной точке N я помещу светящуюся точку, источник света. Теперь, если я возьму маленький непрозрачный кружок и помещу его на поверхность сферы, то он будет отбрасывать, разумеется, тень на плоскость. Чем ближе я буду подвигать кружок к точке S, тем меньше будет становиться его тень. Чем ближе, наоборот, он будет подвигаться к точке N, тем быстрее и быстрее будет расти его тень на плоскости и при этом быстро удаляться от сферы, так что, когда кружок будет у самой точки N, тень уйдет в бесконечность и станет бесконечно большой. Далее: поверхность сферы ограничена, и на ней можно расположить только конечное число кружков. А если теперь изучать геометрию этих теней на плоскости, то нужно заключить, что по отношению к теням кружков эта бесконечная плоскость конечна, ибо этих теней на ней помещается ограниченное число, а именно ровно столько, сколько может поместиться кружков на сфере. Если мне возразят, что все это неверно, ибо тени по мере удаления от точки все растут и растут, тогда я предложу измерять тени при помощи тени какого-нибудь масштаба, который я буду пере-

— 390 —

-двигать опять-таки по сфере, а не по плоскости. В таком случае моему собеседнику придется согласиться со мной, что тени (этот род проекции известен был еще Клавдию Птолемею) ведут себя точь-в-точь как твердые кружки на поверхности шара. Мало этого, мы можем на основании этой модели утверждать, что легко представить себе мир, при этом трехмерный мир, построенный в этом роде, который будет безграничен, но конечен.

— Как же это так?

— Ну уж в эти подробности мы пускаться не будем, а то это нас далеко заведет. Попробуй поверить мне на слово.

— Что ж! — отвечал мальчик. — Я готов поверить…

— Вот и хорошо. Придет время, будешь учиться дальше, все постепенно одолеешь и узнаешь. Торопиться некуда. Но из приведенного примера — этот род проекции называется стереографическим — ты легко можешь понять, что если аналогия строится осторожно и обдуманно, она многое может пояснить и навести на очень дельные мысли. Но если аналогия сводится просто к сравнению, как это нередко с большим успехом делается в произведениях художественной литературы (вспомни у Лермонтова: «Терек прыгает, как львица»), то для научного познания это не только не годится, но даже в некоторой мере и опасно, потому что это может завести наше размышление в тупик, если не в заблуждение. Научная аналогия должна быть построена очень обдуманно, и все выводы из нее должны быть рассмотрены подробно.

— Более или менее я это себе представляю, — сказал Илюша, — но иногда в науке встречаются такие странные выражения, которым, по-моему, даже никакое сравнение не поможет. В одной книжке у папы я нашел выражение «кривизна пространства» и не мог понять, что оно означает.

— Тут речь идет о геометрии мирового пространства…

— Вот как! — Илюша даже немного испугался. — Это вроде рассуждений Лобачевского о мировой геометрии?

— 391 —

— Да, примерно. Раз уж ты просишь меня это рассказывать, то слушай внимательно. Существует одна очень сложная теория о строении Вселенной. Эта теория утверждает, что самый свет есть нечто материальное, обладающее массой. Чтобы нам не забираться далеко, поверь мне в этом на слово. Иначе говоря, приходится допустить, что для света существует мировое притяжение, или — гравитация. Мы обычно представляем себе луч света как наилучший физический образ прямой линии. Натянутая нитка, сколь она ни будет тонка, в середине провисает (вспомни цепную линию из Схолии Четырнадцатой). Так вот, с точки зрения этой новой теории мы имеем основание утверждать, что если свет есть действительно нечто материальное, то он не может быть совершенно независим от гравитации. Попробуем проверить это. Опыт ставится так: фотографируется определенный участок неба, а затем тот же самый участок фотографируют еще раз во время солнечного затмения. Участок выбирается такой, чтобы во время затмения Солнце примерно оказалось в его середине. Что же должно произойти? В силу нашей гипотезы о свете мы полагаем, что луч одной из звезд, который попадает на оба снимка, должен сместиться в том случае, когда он проходит в непосредственной близости от огромного небесного тела — Солнца. То есть Солнце окажет на него гравитационное влияние, и луч искривится. Отсюда делается вывод — наше пространство имеет обычную евклидову геометрию, которая нарушается (искривляется) в окрестностях небесных тел. Вот это явление и называется кривизной пространства[32]. Ясно или нет?