События и люди. Издание пятое, исправленное и дополненное. - Анри Рухадзе

По классической статистике, применяя метод Гиббса, мы получаем следующее. Частицы находятся вблизи положений равновесий, определяемых из условий минимума потенциальной энергии системы

так как только при этом условии вероятность состояния имеет заметную величину. Условия равновесия для внутренних точек

удовлетворяется при периодическом расположении частиц: xn = nd, так как K'(x) — нечетная функция на x, и, следовательно:

период d зависит от величины внешней силы p (давления), действующей на поверхность тела:

Плотность частиц p(x) для ограниченной цепочки частиц, когда задача имеет определенное решение, равна

При этом средний квадрат βn2 определяется известным путем, зависит от расстояния от конца цепочки и растет от края к середине ее (примерно по параболическому закону), как это и должно быть на основании простых и наглядных соображений.

Перейдем теперь к разбору свойств решений уравнения (1), применяемого А. А. Власовым при низких температурах. Уравнение это в одномерном случае сводится к такому:

причем

где M — число частиц. Как видно отсюда, при T → 0 плотность ρ(x) будет иметь резкие максимумы и заметную величину вблизи точек xn, для которых V(x) имеет минимум и для которых, следовательно,

Для бесконечной цепочки точки xn будут расположены периодически, т. е. xn = nd.

Величину V(x) = ʃ K(x — x')ρ(x')dx' можно в этом случае, учитывая еще условие нормировки ρ(x), записать в виде суммы:

Теперь условие (7) дает

что совпадает с (3). Пока мы рассматриваем бесконечную цепочку, период остается неопределенным (мало того, в этом случае рассматриваемое решение заведомо не единственно; ρ(x) = const, очевидно, тоже удовлетворяет задаче). Для нахождения периода нужно и здесь рассмотреть ограниченную цепочку, при этом период будет определяться уравнением (4) и будет, таким образом, зависеть от внешней силы. На первый взгляд, на основании сказанного может показаться, что все обстоит благополучно и «теория самосогласованного поля» в рассматриваемом случае приводит в точности к тем же результатам, что и общие методы классической статистики. Дело, однако, обстоит не так. Действительно, найдем, например, выражение для плотности ρ(x). Для этого в (6) достаточно подставить V(x) из (8), разложив эту величину в ряд по степеням (x — nd) около каждого из узлов решетки. Этим путем найдем

причем средний квадрат смещения частиц из положения равновесия равен

и одинаков для всех внутренних узлов цепочки. Из этой формулы, существенно отличающейся от выражения, вытекающего из классической статистики, виден также тот основной порок метода «самосогласованного поля», который и показывает его заведомую неприменимость к этим вопросам. Дело в том, что, как вытекает из вывода выражения (11), в сумме ∑K(nd) присутствует член, соответствующий n = 0.

Таким образом, формулы (10) и (11) показывают, что распределение плотности существенно зависит K''(0) — от характера закона взаимодействия при бесконечно малом расстоянии между частицами, что нелепо само по себе. Заметим, что при нашем выводе мы молчаливо предполагали, что четная функция K(x) (где —∞ < x < +∞) непрерывна вместе со своими производными первого и второго порядка при x = 0. При этом предположении K''(0) = 0 и (9) совпадает с (3), но K''(0), очевидно, может и не быть нулем. Если же K(x) вблизи точки x = 0 — не аналитическая функция, то результат будет опять существенно зависеть от ее поведения в этой области, т. е. указанное нелепое следствие теории остается и в этом случае.

Указанный порок метода самосогласованного поля, как легко видеть, не связан с частными свойствами рассмотренного решения; еще до интегрирования видно, что поведение K(x) при x = 0 может играть существенную роль.

Добавим еще, что если в (1) K(r) заменить на K(r)exp(K(r)/kT) (так пытается усовершенствовать свое уравнение А. А. Власов в конце работы [2]), то, хотя ход дискуссии изложенного нами вопроса и ее результаты и изменяется, но при этом возникнут новые трудности и новые противоречия с результатами классической статистики.

Исходя из разобранных выше посылок А. А. Власов приходит к ряду выводов, относящихся к теории кристаллического состояния. Один из этих выводов, касающийся «наличия кристаллической структуры и ее спонтанного возникновения» [1, § 10; 3, § 9] мы и разберем здесь, так как он приводит автора к далеко идущим утверждениям. Именно на основании этого вывода он говорит о «новой теории кристаллического состояния, совершенно отличной от теории М. Борна, в которой позиция каждого атома фиксирована около положения равновесия» [1, с. 40].

Решая уравнение, получающееся из (1) с помощью линеаризации, автор приходит к выводу, что у последнего при известных условиях имеются периодические решения. Эту периодичность, как это особенно четко сформулировано им в начале § 9 статьи [3], он истолковывает как наличие кристаллической структуры. Период ее определяется уравнением (УШ) работы [2], которое при использовании формулы (8) той же работы принимает вид

где λ — период структуры. Согласно этой формуле, период λ является функцией не только концентрации атомов N, но и температуры T. Однако это, очевидно, невозможно, поскольку среднее число частиц N в единице объема задано. Период простой решетки равен N-1/3 (или при сложной структуре ячейки отличается от этой величины множителем) и явно от температуры все зависит.

Тот факт, что интерпретация решений уравнения (1) в этом случае приводит автора к таким странным следствиям, не должен нас удивлять, так как этот случай лежит вне границ физической применимости используемого уравнения.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});