Занимательная электроника - Юрий Ревич

Булева алгебра имеет дело с абстрактными логическими переменными. Эти переменные можно интерпретировать по-разному, но интерпретацию мы пока отложим.

Вне зависимости от интерпретации, для логических переменных определены некоторые операции, подчиняющиеся определенным правилам. Базовые операции такие:

□ операция логического сложения двух операндов — операция объединения, операция «ИЛИ» («OR»), обозначается обычным знаком сложения;

□ операция логического умножения двух операндов — операция пересечения, операция «И» («AND»), мы будем обозначать ее крестиком, чтобы отличить от обычного умножения;

□ операция отрицания для одного операнда — операция «НЕ» («NOT»), обозначается черточкой над символом операнда.

В математике операция логического сложения (дизъюнкция) обозначается еще знаком v, а умножения (конъюнкция) — ^. Кроме того, операция умножения часто обозначается знаком &, и это обозначение нам встретится, когда мы перейдем к микросхемам. Остальные операции могут быть записаны как сочетания этих трех основных.

Любая конкретная интерпретация булевых операндов — математическая или техническая — должна отвечать правилам булевой алгебры. Например, оказалось, что этим правилам отвечают множества (отсюда другие названия тех же операций: «пересечение» и «объединение»). Программисты имеют дело с логическими переменными 0 и 1, которые также есть одно из представлений булевых операндов.

Следует отчетливо понимать, что вне зависимости от интерпретации (включая и напряжения в релейных цепях по Шеннону), любые булевы объекты ведут себя одинаково: так, операция пересечения множеств совершенно адекватна операции «И» с логическими переменными или соответствующей манипуляции с выключателями в электрической сети.

В булевой алгебре многое совпадает с обычной — например, справедливы правила типа А + В = В + А или А + (В + С) = (А + В) + С), но для нас важны как раз отличия.

Вот они: А + А = А (а не 2А, как было бы в обычной алгебре), а также А х А = А (а не А2). Последнее уравнение в обычной алгебре, впрочем, имело бы решение, причем сразу два: 0 и 1. Таким путем обычно и переходят к интерпретации булевых операндов, как логических переменных, которые могут иметь только два состояния: 1 и 0 или «правда» (true) и «ложь» (false). В этом представлении мы действительно можем попробовать с помощью определенных ранее операций записывать некоторые высказывания в виде уравнений и вычислять их значения, что дает иллюзию формального воспроизведения процесса мышления. Но сначала надо определить, как и в обычной алгебре, правила, которым подчиняются операции, — т. е. таблицу логического сложения и таблицу логического умножения. Они таковы:

Операция отрицания «НЕ» меняет 1 на 0 и наоборот.

Примеры записи логических выражений обычно приводят для каких-нибудь бытовых высказываний, но мы поступим нетрадиционно: приведем пример из области математики. Пусть высказывание состоит в следующем:«x меньше нуля или х больше 1 и у меньше 2». Как записать это высказывание? Введем следующие логические переменные: А = (х < 0); В = (х > 1); С = (у < 2). Как мы видим, все они могут принимать только два значения: «правда» (если условие выполняется) и «ложь» (если не выполняется). Обозначим значение всего выражения через D. Тогда высказывание записывается так:

D = (A + B) x C (1)

Можно записать и так:

D = (A ИЛИ B) И C

Или так:

D = (A OR B) AND C

Или, наконец, так:

D = ((х < 0) OR (х > 1)) AND (у < 2)

Последняя запись хорошо знакома всем, кто изучал язык программирования Pascal. На языке С та же запись выглядит непонятнее:

D =((x < 0)||(x > 1))&&(y < 2)

* * *

Подробности

О великий и могучий язык С! В нем самую простую вещь можно запутать до полной потери смысла. В нашем случае то же самое выражение можно было бы записать, как ((х < 0) | (х > 1)) & (у < 2), и ничего бы не изменилось. В этом языке (в отличие от Pascal) есть две разновидности логических операций: обычные («логическое И» &&, «логическое ИЛИ» ||) и поразрядные («поразрядное И» &, «поразрядное ИЛИ» |). Есть и, соответственно, «логическое НЕ» (!) и «поразрядное НЕ» (~). Термин «поразрядные» означает, что они применимы к многоразрядным двоичным числам. В результате их применения тоже получается многоразрядное двоичное число, необязательно ноль или единица, как в случае логических. Поскольку наши результаты операций сравнения содержат только один двоичный разряд (либо соблюдается, либо не соблюдается), то в данном случае логические и поразрядные операции оказываются идентичны, и можно писать и так, и так. А вот если в операциях участвуют обычные числа, то результат будет разный: «10&&7» равно «логической 1» (отличное от нуля значение всегда интерпретируется, как «правда»), тогда как «10&7» равно 2 (почему, будет рассказано далее). Как мы узнаем в главе 21, эти особенности играют большую роль в программировании микроконтроллеров на языке С.

* * *

Пусть х = 0,5, у = 1. Чему будет равно D в этом случае? Очевидно, что выражение (А + В) примет значение «ложь» (0), поскольку х не удовлетворяет ни одному из условий А и В. Переменная С примет значение «правда» (1), но на результат это уже не повлияет, т. к. произведение 0 на 1, согласно таблице логического умножения, равно 0. То есть D в данном случае есть «ложь». Если же принять значение х = -0,5, оставив у равным 1, то D примет значение «правда».

Интересный оборот примут события, если вместо «OR» между А и В поставить «AND», — легко догадаться, что выражение в скобках тогда не будет «правдой» ни при каком значении х, поскольку условия «х меньше 0» и «х больше 1» взаимоисключающие. Потому результирующее условие D всегда будет принимать значение 0, т. е. «ложь». Но вот если мы изменим выражение следующим образом:

(2)

то есть инвертируем выражение в скобках с помощью операции «НЕ», то получим обратный результат: D всегда будет «правдой» (черточкой над символом или выражением как раз и изображается инверсия). Интересно, что тот же самый результат мы получим, если запишем выражение следующим образом:

(3)

Это свойство выражается в так называемых правилах де Моргана (учителя Буля):

Отметим, что из таблиц логического умножения и сложения вытекает еще одно любопытное следствие. Дело в том, что ассоциация значения «ложь» с нулем, а «правды» с единицей (положительная логика), есть действие вполне произвольное — ничто не мешает нам поступить наоборот (отрицательная логика). Такая замена приводит к тому, что все операции «ИЛИ» меняются на «И» и наоборот (рассмотрите таблицы внимательно). А вот операция «НЕ» к такой замене индифферентна — 0 меняется на 1 в любой логике.

Далее приведены несколько соотношений, которые вместе с правилами де Моргана помогают создавать и оптимизировать логические схемы. Некоторые из них очевидны, иные же — совсем нет.

Ассоциативный закон умножения:

A x B x C = (A x B) x C = A x (B x C)

Ассоциативный закон сложения:

A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)

Другие формулы:

Булева алгебра на выключателях и реле

Для того чтобы представить булевы переменные и операции над ними с помощью технических устройств (то, что сделал Клод Шеннон в своей диссертации), надо придумать схемы, которые воспроизводили бы эти операции согласно изложенным правилам. Для этого осталось сделать только один шаг: пусть наличие напряжения (высокий уровень напряжения) в некоторой точке цепи представляет собой логическую единицу, а отсутствие напряжения (низкий уровень) — логический ноль. В этом случае логика носит название «положительной». Если принять за единицу низкий уровень, а за ноль — высокий, логика будет «отрицательной». Как мы уже знаем, переход с положительной логики на отрицательную означает замену всех «И» на «ИЛИ» и наоборот. В дальнейшем, если это специально не оговорено, мы всегда будем иметь в виду положительную логику.