ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ - Сергей Бобров

— Это я понимаю, — отвечал Илюша. — Но ведь это еще не все. А что же делается в это время с числом кружков-цилиндриков?.. Мне кажется, что число их в это время растет безгранично.

— Разумеется. Однако не забудь о том, что я собираюсь получить при помощи такого деления на кружки вовсе не приближенный объем конуса, а совершенно точный! Ведь мы действительно убедились с тобой, что в процентном отношении к искомому объему разница может быть сделана сколь угодно малой, если мы будем уменьшать толщину цилиндриков. Убедились мы также и в том, что если в каждом слагаемом мы сделаем ошибку меньше тысячной процента, то при вычислении всей суммы общая ошибка не может превысить того же самого процентного отношения. Не так ли? Тебе все здесь ясно?

— Как будто так, — отвечал Илюша. — То есть этот множитель-ошибка при суммировании просто выйдет за скобку?

— Ну разумеется! А теперь сообрази-ка, что же получится в пределе. Разницу между истинным объемом конуса и суммой можно сделать меньше 0,001, или меньше 0,000001 процента, то есть одной миллионной, или меньше

— 318 —

0,0000000000000000001, то есть одной десятиквинтиллионной процента.

— Постой-ка! — воскликнул Илюша. — А нельзя ли изображать и десятичные дроби через отрицательные степени «десяти»?

— Разумеется, можно. 101 будет 10; 10-1 — единица, деленная на 10, то есть 0,1, ибо,

10-1 = 10n / 10n+1 = 1 / 10 = 0.1

а следовательно, 10-2 будет 0,01, и так далее.

— А тогда, — сказал Илюша, — эти проценты я запишу так: вместо 0,000001 — 10-6, а вместо 0,0000000000000000001 — 10-19.

Но если делать так, то, значит, можно и здесь воспользоваться самыми громадными делителями единицы, вплоть до того невероятного архимедова числа в сто шестьдесят биллионов километров длиной, о котором мы говорили в Схолии Десятой. Слушай, Радикс! Скажи мне, пожалуйста: может быть, Архимед именно это и имел в виду, когда сочинял «Псаммит»?..

— Весьма вероятно! И очень хорошо, что ты сам теперь это понял.

— Но если, — продолжал далее мальчик, — точность суммы неограниченно возрастает за счет увеличения числа цилиндров и утончения их, то ясно, что в пределе я и получу совершенно точно искомую величину!

— Так, — отвечал Коникос. — Вот выходит, что «чем больше ошибок ты сделаешь, тем лучше окажется твой результат», ибо чем больше ошибок, тем каждая из них меньше. А отсюда ясно, что ты действительно имеешь возможность при вычислении объема конуса разбивать его на тончайшие слои и считать каждый слой цилиндром, пренебрегая теми крохотными колечками (они у нас останутся, если из каждого цилиндрика вычесть соответственный усеченный конусик), которые представляют собой бесконечно малые более высокого порядка. А это уже величины такой малости, что по сравнению с ними бесконечно малые первого порядка, о которых мы до сих пор говорили, суть величины бесконечно большие.

— А все-таки есть одна вещь, которую мне очень трудно усвоить! — вздохнул Илюша. — Как это так можно чем-нибудь пренебрегать в математике?

— Чем можно пренебрегать, а чем нельзя, мы узнаем первоначально, разумеется, из опыта. Замечательный физик и мыслитель девятнадцатого века Больцман утверждал, рас—

— 319 —

суждая о вопросах, близких к тем, о которых мы сейчас говорим, что не логика решает в конце концов, правильна ли данная система размышлений или неправильна. Решает этот вопрос дело, то есть наша человеческая повседневная деятельность. «То, что ведет нас к верному делу, — говорил Больцман, — то и есть истина». И если бы мы с помощью данных рассуждений не могли достигнуть некоторых неоспоримых практических результатов, то никогда и не могли бы установить, как же, наконец, следует рассуждать — так или иначе. Если я путем такого процесса бесконечного уменьшения слагаемых кружков получаю правильное решение, то, следовательно, и способ мой правилен.

Длина окружности не может быть больше периметра описанного многоугольника и меньше перимерта вписанного. Однако если бесконечно удваивать число сторон многоугольников, то оба перимера будут приближаться к длине окружности, как к переделу.

Конечно, затем нужно обсудить теоретически, обосновать и осмыслить все эти операции. Очевидно, что можно так обращаться с конусом только в том случае, если есть возможность убедиться, что этим путем я действительно могу приблизиться к некоторому пределу. И вот так-то, перерешав бесчисленное множество таких задач, люди и научились складывать бесконечно малые величины и узнали постепенно их свойства. Ничего нет удивительного в том, что человек, который никогда не имел дела с бесконечно малыми, не знает, как с ними обращаться. Что же касается понятия предела, то тут вот что можно сказать для выяснения. Ясно, что периметр вписанного многоугольника, если мы будем последовательно удваивать число его сторон, должен безгранично приближаться к длине окружности. Стать больше ее он не может, ибо ведь он вписанный, а не описанный, но, увеличиваясь, он все тесней и тесней приближается к ней по мере новых удвоений его сторон. Отсюда мы можем прийти к определению длины окружности как предела периметров вписанных многоугольников, если мы безгранично удваиваем число их сторон. С другой стороны, и периметр описанного многоугольника при бесконечном удвоении числа сторон также будет стремиться, уменьшаясь, к тому же пределу, то есть к длине окружности. Стать меньше ее он не может, так как он описанный, а не вписанный. Длина окружности лежит всегда между периметром описанного и периметром вписанного

— 320 —

многоугольников. Она меньше первого и больше второго. И оба стремятся к ней. Поэтому можно проверять одно приближенное решение при помощи другого и установить границы, между которыми лежит искомая величина, наподобие того, как Архимед установил, что правильное значение корня квадратного из трех лежит между двумя неправильными дробями.

265/153 и 1351/780

(если взять корень из трех с точностью до семи десятичных знаков, то есть до одной десятимиллионной, то первая дробь дает значение корня из трех с недостатком в 247 десятимиллионных, а вторая с избытком в пять десятимиллионных). Архимед, кстати, при вычислении длины окружности пользовался вписанным и описанным многоугольниками с девяноста шестью сторонами. Однако это касается уже самого вычисления, и там, разумеется, ты волен остановиться на таком приближении, которое кажется нужным. А выкладки дают способ вычисления. А какая нужна точность в каждом данном случае — это уже дело твое. Повторим теперь еще раз знакомый нам из древности пример убывающей геометрической прогрессии. Пусть ее первый член будет равен единице, а знаменатель — половине. Тогда предел, к которому стремится ее сумма, будет равен двум целым. И это очень легко заметить. Вот эта прогрессия:

1; 1/2; 1/4; 1/8; 1/16; 1/32; 1/64…

Теперь запишем последовательные суммы:

— 321 —

Но

откуда ясно, что каждый следующий член этого ряда сумм будет все ближе и ближе к двойке.

— Да-да! — сказал Илюша. — Вот как раз именно так мы с Радиксом делили яблочко в Схолии Двенадцатой. Я сразу сейчас вспомнил.

— Вот именно. Однако самый процесс разыскания пределов отнюдь не так-то прост, и в нем очень легко ошибиться.

Например, не во всякой геометрической прогрессии сумма имеет предел. Если взять геометрическую прогрессию с первым членом, равным единице, а знаменателем минус единице, то получим следующий ряд:

1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — …

Попробуем вычислить сумму такого ряда. Если я напишу ряд в таком виде:

S = (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + …

то очевидно, что сумма его равняется нулю. Однако стоит его изобразить иначе:

S = 1 — (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + …

и получится в сумме не нуль, а единица! Но я могу придумать еще одно начертание:

S = 1 — ( 1 — 1 + 1 — 1 + 1 -…),

и тогда сумма S будет, очевидно,

S= 1 — S.

— 322 —

Получающееся уравнение, как ты видишь, решить нетрудно, но в таком случае сумма равняется уже и не единице и не нулю, а просто половине! Из ряда подобных «вычислений» можно заключить, что о сумме такого ряда говорить в том же смысле, в каком мы говорим о сумме конечного числа членов, невозможно. Математики бились с этим рядом очень долго, пока не убедились наконец, что прежде чем говорить о сумме бесконечного ряда, надо сперва точно определить, что следует понимать под этими словами. В данном случае то общее определение, согласно которому мы под суммой бесконечного ряда

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …

понимали рассмотренный выше предел, то есть двойку, нам совершенно не подходит, так как последовательные суммы нового ряда попеременно равны то единице, то нулю, и ни к какому пределу не стремятся.