Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

3.2. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в некоторой плоскости P, а катеты составляют с этой плоскостью углы α и β. Определите угол между плоскостью P и плоскостью треугольника.

3.3. Стороны угла α наклонены к плоскости P под углами β и γ. Найдите косинус угла, являющегося проекцией угла α на плоскость P.

3.4. Даны четыре скрещивающиеся прямые: а, b, с и d. Постройте прямую, параллельную а и одинаково удаленную от остальных трех прямых.

3.5. Равносторонний треугольник ABC со стороной, равной а, лежит на плоскости P. На перпендикуляре, восставленном из точки А к плоскости P, отложен отрезок АS = а. Найдите тангенс острого угла между прямыми AB и AC.

3.6. В пространстве даны два луча Ax и By, не лежащие в одной плоскости и образующие между собой угол 90°; AB — их общий перпендикуляр. На лучах Ax и By взяты точки: M на Ax и P на By, такие, что 2АМ · ВР = AB². Докажите, что расстояние от середины O отрезка AB до прямой MP равно 1/2AB.

3.7. Докажите, что четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

3.8. На плоскости P лежит правильный треугольник ABC со стороной а. Из точек С и В восставлены перпендикуляры к плоскости P и на них отложены отрезки СЕ = а√2 и BD = a/√2 (с одной стороны от плоскости P). Найдите площадь треугольника DEA и косинус угла между плоскостью P и плоскостью этого треугольника.

3.9. Найдите объем пирамиды, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной а, если двугранные углы между плоскостью основания и боковыми гранями равны α, β и γ.

3.10. Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный треугольник ABC с площадью S и основанием AB = а. Две боковые грани пирамиды, опирающиеся на равные стороны основания, имеют при вершине пирамиды прямые углы. Найдите угол, образованный третьей боковой гранью пирамиды и плоскостью основания, если объем пирамиды равен V.

3.11. В правильной треугольной пирамиде площадь основания равна √3, а угол бокового ребра с плоскостью основания в четыре раза меньше плоского угла при вершине. Найдите площадь боковой поверхности.

3.12. В тетраэдр вписан другой тетраэдр так, что его вершины лежат в точках пересечения медиан граней первого тетраэдра. Найдите отношение объемов тетраэдров.

3.13. Шар касается всех боковых граней пирамиды в точках пересечения их медиан, причем центр шара находится внутри трехгранного угла, образованного боковыми гранями пирамиды. Докажите, что пирамида правильная.

3.14. Докажите, что в усеченной пирамиде сторона квадрата, равновеликого площади сечения пирамиды, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию, равна среднему арифметическому сторон квадратов, равновеликих основаниям пирамиды.

3.15. В пирамиде ABCD дано BC = а, CA = b, AB = с, DA = а1, DB = b1, DC = с1. Найдите косинус острого угла между скрещивающимися ребрами AD и BC этой пирамиды.

3.16. Плоскость, проходящая через одно из ребер правильного тетраэдра, делит его объем в отношении 3 : 5. Найдите тангенсы углов α и β, на которые эта плоскость делит двугранный угол тетраэдра.

3.17. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α. Через ребро основания проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая с основанием угол β. В каком отношении она делит площади тех боковых граней, которые она рассекает на два треугольника?

3.18. Высота треугольной пирамиды ABCD, опущенная из вершины D, проходит через точку пересечения высот треугольника ABC. Кроме того, известно, что DB = b, DC = с, ∠ BDC = 90°. Найдите отношение площадей граней ADB и ADC.

3.19. В треугольной пирамиде SABC все плоские углы трехгранных углов с вершинами в точках A и B равны α, AB = а. Определите объем пирамиды.

3.20. Две грани треугольной пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой AB. Двугранный угол при AB равен α. Найдите двугранный угол, у которого ребро есть катет.

3.21. В треугольной пирамиде SABC два плоских угла ASB и BSC при вершине S равны α, а третий плоский угол ASC равен α/2. Ребро AS перпендикулярно к плоскости основания ABC. Найдите угол BAC.

3.22. В тетраэдре ABCD ребро AB = 6, ребро CD = 8, а остальные ребра равны √74. Найдите радиус R описанного шара.

3.23. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями равен α. Найдите высоту данной пирамиды, если расстояние от основания высоты до бокового ребра равно а. Ответ приведите к виду, удобному для логарифмирования.

3.24. В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной а. Одна боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с боковой стороной b (b ≠ а) и перпендикулярна к плоскости основания. Найдите площадь сечения, которое является квадратом и пересекает эту грань по прямой, параллельной основанию.

3.25. Боковые ребра треугольной пирамиды равны а, b, с. Плоские углы при вершине прямые. В пирамиду вписан куб так, что одна его вершина находится в вершине пирамиды, а противоположная лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите ребро куба.

3.26. В правильную треугольную пирамиду с высотой h вписан куб с ребром а так, что основание куба лежит на основании пирамиды. Найдите объем пирамиды.

3.27. Трехгранный угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными прямыми, пересечен плоскостью. Докажите, что полученный в сечении треугольник остроугольный.

3.28. Найдите объем тетраэдра ABCD, если BC = AD = а, CA = DB = b, AB = DC = с.

3.29. В пирамиде ABCD объем V = 48, AB = 12, CD = 8. Расстояние между AB и CD равно 6. Найдите угол между ребрами AB и CD.

3.30. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 проведена плоскость A1BC. В образовавшуюся над этой плоскостью часть призмы вписан шар радиусом R. Найдите объем призмы.

3.31. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите радиус шара, касающегося всех ребер тетраэдра.

3.32. В прямоугольный параллелепипед с ребрами а, b и с помещен куб так, что вершина куба O совпадает с вершиной параллелепипеда. Найдите угол между диагоналями куба и параллелепипеда, проведенными через вершину O.

3.33. Сторона треугольника равна а. Разность прилегающих к ней углов равна φ. На треугольнике, как на основании, построена прямая призма. Через ее ребро, противоположное стороне а, проведено сечение площади S, делящее двугранный угол пополам. Найдите объем призмы.

3.34. Найдите расстояние между двумя непересекающимися диагоналями смежных граней куба, ребро которого равно а.

3.35. Ребро куба равно а. Сфера с центром в точке O делит три ребра куба, сходящихся в вершине А, пополам. Из одной такой точки деления K опущен перпендикуляр на диагональ куба, проходящую через вершину А. Угол между этим перпендикуляром и радиусом сферы ОК делится ребром куба пополам. Найдите радиус сферы.

3.36. Одна из сторон плоского четырехугольника равна √5/2. Его проекции на грани прямого двугранного угла — квадраты со стороной 1. Докажите, что четырехугольник лежит в плоскости, параллельной биссекторной плоскости двугранного угла, и найдите его периметр.