Целостный метод – теория и практика - Марат Телемтаев

μ (ikik+1) + μ (ik+1ik+2) + μ (ik+2ik+3) ≤ μ (ikik+2) + μ (ik+2ik+1) + μ (ik+1ik+3). (2)

Условие (2) необходимо проверить для всех ik = i1, i2, …, in и, если оно для всех ik справедливо, то это необходимое и достаточное условие того, что гамильтонов цикл 4-оптимален. Просуммировав левые и правые части неравенств, получающихся при значениях ik = i1, i2, …, in, получаем необходимое условие 4-оптимальности в виде:

Справедливо следующее условие:

Если гамильтонов цикл a1-оптимален, то он a2-оптимален для любого a2<a1. Если это условие не выполняется, т.е. a1-оптимальный гамильтонов цикл не является a2-оптимальным, то какой-то из простых путей длины a1 можно улучшить изменением обхода каких-то a2 вершин, что противоречит условия a1-оптимальности.

Перейдем к определению условия a-оптимальности, получаемого аналогично тому, как условие (З) получено из (2), из системы неравенств вида (2), для любого a=const суммированием для всех ik=1, 2, …, n

Для каждого значения k будет иметь место система из ((а-2)!-1) неравенств по числу элементов множества Р, состоящего из (а-2)! перестановок чисел i΄k+1, i΄k+2, …, i΄k+a-2

При этом мы полагаем, что

μ (ik,ik+1, …, ik+a-1) = μ (ik, ik+1) + μ (ik+1ik+2) + … + μ (ik+a-2 ik+a-1).

μ (ik, i΄k+1, …, i΄k+a-2, ik+a-1) = μ (ik, i΄k+1) + μ (i΄k+1, i΄k+2) + … + μ (i΄k+a-2, ik+a-1).

Обозначим левую и правую части условия (4) буквами А и В, соответственно: А ≤ В.

В левой части неравенства вес каждого ребра, принадлежащего проверяемому участку гамильтонова цикла, участвует точно по одному разу в каждом неравенстве системы из ((a-2)!-1) неравенств, задаваемых перестановками, принадлежащими множеству Р, при фиксированной начальной вершине.

Кроме этого, при заданном a=const, если производить проверку выполнения условия (9.2.4), изменяя последовательно номер начальной вершины от i1 до in, то любое ребро гамильтонова цикла появится точно в (a-1) системах из этих ((a-2)!-1) неравенств как первое по счету, второе, третье и т.д. (a-1)-e ребро в проверяемых участках гамильтонова цикла.

Следовательно, левая часть неравенства (4) имеет вид:

Выражение для правой части условия (4) можно записать в виде:

Для того, чтобы получить выражение для правой части условия (4), необходимо найти число появлений ребер графа вида (ic, ic+N) в каждой системе из ((a-1)!-1) неравенств, задаваемых определенным значением k, а также во всех системах этих неравенств, получаемых при изменении ik от i1 до in.

Очевидно, что число появлений пар (iс, ic+N) в правых частях неравенств вида (4) равно числу появлений пар (ic, ic+N) в последовательностях:

ik, i΄k+1, i΄k+2, …, i΄k+a-2, ik+a-1 (5)

задаваемых (a-2)! перестановками чисел i΄k+1, i΄k+2, …, i΄k+a-2.

Следует учесть также, что одна из этих последовательностей, а именно i1, i2, i3, …, ik+a-1 находится в левой части этих неравенств.

Пары icic+N можно разделить на следующие виды по признаку, содержат они или нет «неподвижные» вершины ik и ik+a-1:

а) icic+N при c ≠ k; c + n < k+a-1; n >1, n ≤ a-2; это пары элементов в (5), не содержащие элементов ik, ik+a-1 и тех элементов (i1, i2, i΄2, i3, i΄3, i4 и т.д.), которые входят в гамильтонов цикл (1a).

Каждая из пар этого вида появится в системе неравенств (4) для определенного значения ik=i1,i2, …, in, точно (a-3)(a-4)! раз – по числу (a-4)! перестановок (a-4) элементов, т.е. элементов последовательности (5) за вычетом элементов ik, ik+a-1, ic, ic+N для каждого из (a-3) возможных положений пары ic, ic+N в последовательности (5).

б) ic, ic+N при n>1, c=k и ic+Nic+a-1 при n < а-2, c=k это пары элементов в (5), содержащие элементы ik или ik+a-1 и элементы гамильтонова цикла (1a).

Каждая из этих пар появится в системе неравенств (4) для определенного значения ik=i1,i2, …, in, точно (a-3)! раз по числу возможных перестановок (a-3) элементов, т.к. элементы ik, ik+N, ik+a-1 для этих пар «неподвижны».

Кроме этого, в совокупностях пар обоих видов надо выделить пары ic, ic+1, т.е. пары элементов гамильтонова цикла (1а). Тогда можно считать, что каждая из этих пар появится в системе неравенств (4) для определенного значения ik=i1,i2, …, in точно ((a-3)!-1) раз по числу появлений пар вида а) или б) и за вычетом появлений одной пары, находящейся в левой части неравенства (4).

Аналогично и для любой пары вида iс+N iс число появлений в системе неравенств (4) для определенного значения ik равно (a-3)!. Здесь надо учесть то обстоятельство, что ik и ik+a-1 «неподвижны», т.е. они не могут участвовать в парах вида iс+N iс.

Таким образом, каждая пара элементов вида iсiс+N, не образующая ребро, инцидентное гамильтонову циклу, а также каждая пара вида iс+N iс появятся в правой части системы неравенств, записанных для определенного значения ik, точно (a-3)! раз, а ребра, инцидентные гaмильтонову циклу, точно ((a-3)!-1) раз.

Задавая последовательно значения ik от i1 до in, мы получаем каждый раз новые системы неравенств. При этом относительно любого ребра ic, ic+N участок ik, ik+1, …, ik+a-1 «передвигается», вследствие чего любые пары ic+N ic или ic, ic+N участвуют в a-N(k+a-1-n-k+1=a-N) системах неравенств (4). То обстоятельство, что пары вида (ic+N, ic) с участием элементов ik и ik+a-1 в каждой системе неравенств невозможны, приводит к уменьшению числа появлений каждого такого вида пар ic+N ic в системе (4) для данного N на две.

Ребра ic ic+1 участвуют, таким образом, в (a-1) системах неравенств, если, конечно, (a-3)!-1 ≥ 1 или a ≥ 5, т.е., если они по условию вообще появляются в правой части системы неравенств для любого ik.

Отсюда очевидно, что любое ребро μ (ikik+N), N ≠ 1, графа будет повторяться в правых частях n систем неравенств (4) (a – N) раз для ik= i1, i2, …, in.

Следовательно, правая часть системы (4) примет вид:

Итак, условие a-оптимальности примет вид:

для a ≥ 5.

После простых преобразований получаем

для a ≥ 5.