Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Чтобы найти угол А1ОВ1, рассмотрим четырехугольник А1ОВ1С. B этом четырехугольнике два угла прямых, а потому два других — угол А1ОВ1 и угол С — образуют в сумме развернутый угол, т. е. угол А1ОВ1 равен π − С. Аналогично находим углы В1ОС1 и С1ОА1.

Итак,

Остается найти отношение

Ответ. 2 sin A/2 sin B/2 sin C/2 .

1.6. Так как B = 3С, то из соотношения между площадями мы получим

т. е. АС/AB = 2, откуда, в силу теоремы синусов, sin B/sin C = 2. Вспоминая, что по условию B = 3С, придем к тригонометрическому уравнению sin 3С = 2 sin С. Домножим обе части уравнения на cos С, получим sin 3С cos 3С = sin 2С. Преобразовав левую часть в сумму синусов, придем к уравнению

sin 4С + sin 2С = 2 sin 2С, или sin 4С = sin 2С.

Так как C — угол треугольника, меньший 1 (ведь 3C и C — углы одного треугольника), то последнее уравнение может выполняться только в том случае, если

4C = π − 2C, т. е. C = π/6 .

Находим остальные углы:

B = 3С = π/2, A = π/3.

Ответ. π/3, π/6, π/2.

1.7. С одной стороны, площадь треугольника CAD (рис. Р.1.7) можно выразить через стороны b, l и угол между ними, а с другой стороны, — как сумму площадей треугольников АВС и ABD:

Приравнивая эти два выражения, найдем l(b − c) cos A/2 = bc sin A,

или

l(b − c) cos A/2 = 2bc sin A/2 cos A/2.

Так как cos A/2 в треугольнике не может быть равен нулю, то на него можно сократить. Теперь найдем l.

Ответ.

1.8. Воспользуемся сравнением площадей. С одной стороны, S = pr = a + b + c/2r, где через а обозначена искомая сторона. Находим отсюда, что 2S = ar + (b + c)r. С другой стороны, если биссектрису угла А обозначить через la, то

S = ½ lab sin α/2 +  ½ lac sin α/2 = ½ la(b + c) sin α/2

(рисунок сделайте самостоятельно). Из последнего равенства находим, что  Подставляем в выражение для 2S полученное раньше:

B последнем преобразовании мы учли условие задачи, согласно которому lа = rq. Осталось ввести в рассмотрение радиус R описанной окружности. По условию R = prq. По теореме синусов

a = 2R sin α = 2prq sin α,

откуда r =a/2pq sin α. Полученное соотношение позволяет определить a из последнего выражения для 2S. B самом деле, после подстановки получим

откуда после несложных преобразований найдем a.

Ответ.

1.9. B треугольнике ABC (рис. P.1.9) введем обозначения: ВМ = a1, СМ = a2, АN = b1, СN = b2. Так как ВО — биссектриса треугольника АВМ, то AB : ВМ = АО : ОМ = √3 : 1. Аналогично AB : АN = ВО : ОN = 1 : (√3 − 1). Итак,

Величины a1 и b1 можно выразить через стороны треугольника

a1 = ac/b + с, b1 = bc/а + с.

После подстановки в предыдущие два равенства мы получим два однородных выражения относительно a, b и с:

b + c/a = √3, a + c/b = ½(√3 + 1),

из которых легко найти отношения a : b и с : b. Достаточно переписать эти равенства в виде

1 + с/b = √3a/b, a/b + с/b = ½(√3 + 1).

Получим a/b = √3/c, с/b = ½.

Таким образом, треугольник ABC подобен прямоугольному треугольнику с углами в π/6 и π/3·

Ответ. Углы А, B и С равны π/3, π/2, π/6 соответственно.

1.10. Из треугольника MPA (рис. Р.1.10) находим MP = PA ctg α. Но PA = OA − OP = q/cos α − p. Таким образом,

Находим MQ:

Полезно заметить, что MQ можно было не вычислять, поскольку выражение для MQ должно получиться из выражения для MP с помощью замены p на q, а q на p.

Ответ.

1.11. Пусть AP = 3, CR = 2√2 (рис. Р.1.11) Используя метод «сравнения площадей» для треугольника ABC, получим

3a = 2√2 c.

Так как а = BQ/sin C, с = BQ/sin A, то после сокращения на BQ получим

3/sin С = 2√2/sin А.      (1)

По условию BQ = 6OQ. Найдем отрезок AQ из треугольников ABQ и AOQ соответственно:

AQ = BQ ctg А = 6OQ ctg А, AQ = OQ ctg ∠OAQ,

где ∠OAQ = π/2 − С. Приравнивая эти два выражения, получим второе уравнение, связывающее углы треугольника:

6 ctg А ctg С = 1.      (2)

Остается решить систему из уравнений (1) и (2). Для этого возведем уравнение (1) в квадрат и воспользуемся формулой  Получим

9(1 + ctg² С) = 8(1 + ctg² А).      (1′)

Из уравнения (2) следует, что

(2′)

подставляя значение ctg² С в уравнение (1'), после несложных преобразований придем к биквадратному уравнению относительно ctg А:

32 ctg4 А − 4 ctg² А − 1 = 0.      (3)

Так как треугольник ABC по условию остроугольный, то нас интересуют лишь положительные корни уравнения (3). Легко убедиться, что оно имеет единственный положительный корень ctg А = ½. Подставляя в (2), найдем ctg С = ⅓. Теперь можно найти площадь данного треугольника:

SABC = ½AP · a,

где АР = 3. Величину а найдем из треугольника BRC:

Ответ. 6 см².

1.12. Поскольку B − С = π/2, угол B — тупой (рис. P.1.12).

Так как

то соотношение b + с = k можно переписать так: 

откуда

h(sin С + cos С) = k sin С cos С.

Возведем последнее уравнение относительно sin 2 С. Корни этого уравнения

Если мы возьмем перед корнем знак минус, то получим sin 2С < 0, чего быть не может, так как угол С острый, следовательно, 0 < 2С < π.

Остается

B правой части стоит положительное число. Чтобы можно было найти С, это число не должно превышать единицу, т. е.