Математика. Поиск истины. - Клайн Морис

Но если физическое понимание электромагнитных явлений отсутствует, а наша способность рассуждать о них, пользуясь физическими понятиями, весьма ограниченна, то какова в этом случае природа нашего понимания электромагнитных реалий? На чем мы основываемся, утверждая, что нам удалось овладеть электромагнитными явлениями? Математические законы — всего лишь средства для нащупывания, открытия и использования этой обширной области реального мира; математические законы — единственное знание, которым человеческий разум располагает о загадочных явлениях электромагнетизма. И хотя такой ответ вряд ли удовлетворит человека, не посвященного в эти «дельфийские» таинства наших дней, современные ученые приемлют его. Столкнувшись с многочисленными загадками природы, современный ученый не может не испытывать чувства радости, если их удается «похоронить» под грузом математических символов, причем совершить погребение столь тщательно, что многие последующие поколения ученых не в состоянии обнаружить вход в «гробницу».

На примере теории электромагнитного поля Максвелла мы сталкиваемся с поразительным фактом: одно из величайших достижений физической теории оказывается почти целиком математическим. Некоторые формальные выводы этой теории, такие, как индуцирование тока в проводниках или прием сигнала за тысячи километров от источника, подтверждаются нашим чувственным опытом, но суть теории сама по себе остается чисто математической.

В какой-то мере мы уже были подготовлены к столь необычному повороту событий. Ознакомившись с работами Ньютона по тяготению, мы задались вопросом: что такое тяготение и как оно действует? Обнаружилось, что у нас нет физического понимания действия гравитации. Мы располагаем только математическим законом, дающим количественное описание силы тяготения, и, используя этот закон и законы движения, можем предсказывать явления, поддающиеся экспериментальной проверке. Но сущность понятия гравитации скрыта от нас.

Мы видим также, что центральным стержнем наиболее совершенных физических теорий является математика, точнее несколько формул и следствий из них. В основе каждой физической теории лежат прочные и четкие математические принципы. Наши теоретические умозрительные построения выходят за рамки интуитивных и чувственных восприятий. Пользуясь и теорией гравитации Ньютона, и теорией электромагнитного поля Максвелла, мы вынуждены признаться в незнании основных механизмов и возложить на математику описание того, что нам известно. Такое признание, возможно, наносит удар по нашему самолюбию, но вместе с тем способствует пониманию истинного положения вещей. Именно теперь мы можем по достоинству оценить мысль, высказанную Уайтхедом: «Несомненный парадокс состоит в том, что именно предельные абстракции [математики] служат теми истинными орудиями, посредством которых мы управляем нашим пониманием конкретных фактов».

В этом парадоксе и заключается своеобразие математики, ибо она позволяет открывать явления, которые, будучи взятыми отдельно от человеческого разума, отнюдь не очевидны, хотя и вполне реальны. Уайтхед сказал как-то, что выделять математику в человеческом мышлении — все равно что вместо Гамлета выдвигать на первое место в трагедии Шекспира Офелию, а не Гамлета: «Офелия, бесспорно, очаровательна и немного безумна, но Гамлет — все же центральный персонаж».

В 1931 г. Эйнштейн, характеризуя изменение, внесенное в наше представление о физической реальности работами Максвелла, назвал его «наиболее глубоким и плодотворным из тех, которые испытала физика со времен Ньютона» ([7], с. 138).

VIII

Прелюдия к теории относительности

Здравый смысл — это толща предрассудков, успевших отложиться в нашем сознании к восемнадцати годам.

Альберт Эйнштейн

Аксиома — это предрассудок, освященный тысячелетиями.

Эрик Т. Белл

Как и «чистые» математики, физики-теоретики на рубеже XX в. были преисполнены гордости за достигнутые успехи, и состояние физических теорий не вызывало у них беспокойства. Разве не они открыли совершенно новый мир — мир электромагнитных явлений, сулящий ускорить и расширить культурный и технический прогресс человечества, существенно усовершенствовать средства связи? Возможно, что такому безмятежному, не омрачаемому критикой состоянию теоретической физики в какой-то мере способствовала гипотеза эфира, который на протяжении двух веков считался средой, где якобы распространяется свет и электромагнитное излучение других видов.

Но безмятежное спокойствие, царившее в физике на рубеже нашего века, было затишьем перед бурей. Когда восторги, вызванные замечательными достижениями, начали утихать, физики-теоретики поняли, что далеко не все фундаментальные проблемы решены. Одно из решений таких проблем — создание теории относительности — ознаменовало подлинный переворот в научной концепции реального физического мира. И хотя этот переворот не оказал столь сильного влияния на нашу повседневную жизнь, как радио и телевидение, ставшие со временем достоянием миллионов, для нашего понимания природы физического мира его последствия были необычайно важны.

Какие проблемы заставляли математиков и физиков в конце XIX в. углубленно размышлять и искать принципиально новые подходы к объяснению фундаментальных явлений окружающего мира? Первая из таких проблем — геометрия физического пространства. Чтобы понять суть этой проблемы, нам придется вернуться к прошлому.

На протяжении двух тысячелетий не один математик высказывал сомнение в физической истинности аксиомы Евклида о параллельных, которая гласит:

И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встречаются с той стороны, где углы меньше двух прямых.

([17], с. 15.)

Это означает (рис. 32), что если углы 1 и 2 в сумме меньше 180°, то прямые  aи b, будучи продолженными достаточно далеко, пересекутся (на рисунке — справа).

Рис. 32.

Евклид имел достаточно веские основания, чтобы сформулировать свою аксиому именно так. Он мог бы утверждать, что если сумма углов 1 и 2 равна 180°, то прямые  aи  bникогда не пересекутся, сколько бы их ни продолжали, т.е. что прямые  aи  bв этом случае параллельны. Однако Евклид явно опасался предположить, что могут существовать две бесконечныепрямые, которые никогда не пересекаются. Существование таких прямых не подкреплялось опытом и отнюдь не было самоочевидным. Но на основе аксиомы о параллельных и других аксиом своей геометрии Евклид доказал существование бесконечно протяженных параллельных прямых.

Считалось, что аксиома о параллельных в том виде, в каком ее сформулировал Евклид, излишне сложна и ей недостает простоты других аксиом. Самого Евклида придуманный им вариант аксиомы о параллельных также не устраивал: недаром он обращался к этой аксиоме, лишь доказав все теоремы, какие только можно было доказать без нее.

Даже в античную эпоху математики неоднократно пытались решить проблему, связанную с аксиомой о параллельных Евклида. Эти попытки были двух типов. Одни пробовали заменить аксиому о параллельных какой-нибудь другой аксиомой, казавшейся им более очевидной. Другие старались, вывести аксиому Евклида из девяти других аксиом его геометрии. Если бы это удалось, то аксиома о параллельных превратилась бы в одну из теорем и всякие сомнения в ее истинности разом отпали бы. На протяжении двух тысячелетий не один десяток самых выдающихся математиков, не говоря уже о менее известных, пытались и заменить аксиому о параллельных и вывести ее из других аксиом. История аксиомы Евклида о параллельных длительна, изобилует техническими деталями, и мы не будем пересказывать ее здесь подробно, тем более что она не имеет прямого отношения к главной теме нашего повествования и неоднократно излагалась в других работах. {10}