Наука Плоского Мира III: Часы Дарвина - Терри Пратчетт

Если знаки после запятой могут продолжаться «вечно», первым делом нужно спросить какого вида «вечность» имеется ввиду. И ответом является алеф-ноль Кантора, потому что в нём есть первый знак после запятой, второй, третий. эти места соответствую целым числам. Так что если всё множество чисел n равно аллеф-нолю, мы обнаружим, что кардинальное число этого множества всех вещественных чисел (не принимая внимания знаки после запятой) равно 10 в степени алеф-ноль. То же самое верно в силу более сложных причин, если мы не будем учитывать все знаки после запятой.[65]

Всё отлично, но предположительно 10 в степени алеф-ноль окажется очень хорошо замаскированным алеф-нолём, поскольку все бесконечности должны быть равны? Нет, они не равны. Кантор доказал, что нельзя соотносить вещественный и целые числа. Так что 10 в степени алеф-ноль больше чем алеф-ноль.

Он пошёл дальше. Гораздо дальше. Он доказал[66], что поскольку n является любым бесконечным кардинальным числом, 10 в степени n является ещё большим кардинальным числом. Так что 10 в степени алеф-ноль ещё больше, а 10 в степени 10 в степени алеф-ноль ещё больше… и так далее.

Бесконечностям Кантона нет числа. И нет какой-то самой большой «гипербесконечности».

Понятие бесконечности как о «самом большом из возможным чисел» встречает здесь определённые трудности. И это разумный способ создать бесконечную серию арифметических рядов.

Если вы начнёте с любого кардинального алеф-n, тогда 10 в степени алеф-n ещё больше. Естественно предположить, в результате у вас получится алеф-(n+1) — это утверждение называется обобщённой континуум-гипотезой. В 1963 году Пол Коэн (не имеющий отношения ни к Джеку, ни к Коэну) доказал, что… ну это от много зависит. В некоторых вариациях теории множеств это утверждение является правдой, а в других оно ложно.

Таковы математические основы, вот почему лучше сначала построить дом, а только потом закладывать фундамент. В этом случае, если они вас не устраивают, вы можете построить вместо них что-нибудь другое. Не разрушая сам дом.

Таким образом Кантор создал Рай: совершенно новая система счисления алефов, бесконечностей сверх всякой меры и очень сильно ощущение «никогда». Оно совершенно естественно возникает из одного простого принципа: для установки логических оснований арифметики вам нужна только техника «соотнесения». Большинство действующих математиков теперь согласны с Гилбертом и идеи Кантора, вначале казавшиеся удивительными были вплетены в саму ткань математики.

Волшебники не просто противостоят математике бесконечности. Они ещё хорошенько запутались с физике. А здесь возникают совершенно новые вопросы на тему бесконечности. Является ли вселенная конечной или бесконечной? Какого вида эта конечность/бесконечность? И что там со всеми параллельными мирами о которых говорят космологи и квантовые физики? Даже если каждая их этих вселенных конечна, бесконечно ли их общее число?

Согласно современной космологии обычно мы полагаем, что наша вселенная конечна. Она родилась в качестве крошечной точки в результате большого взрыва, а затем на протяжении 13 миллиардов лет расширялась с конечной скоростью, так что она продолжает быть конечной Конечно в мелких масштабах она может быть бесконечно неделимой, подобно математической длине или плоскости, но с позиций квантовой механики на уровне ниже Планковской длины может быть определённо зернистой, так что вселенная имеет огромное, но конечное число возможных квантовых состояний.

Многомировая интерпретация квантовой теории была изобретена физиком Хью Эверетом как способ связать квантовое понимание мира с повседневным «здравым» смыслом. Она утверждает, что всякий раз когда свершается выбор — к примеру, какой именно спин имеет электрон или находится ли кот в живом или мёртвом состоянии — вселенная не просто совершает выбор и отказывается от всех альтернатив. Это так кажется нам, но на самом деле вселенная совершает все возможные выборы. Бесчисленные «альтернативные» или «параллельные» миры ответвляются от того, который мы ощущаем. В одном из них Гитлер выиграл Вторую Мировую, а в другом за ужином вы съели лишнюю оливку.

Повествовательно говоря, многомировое описание, которое предоставляет квантовая механика, выглядит довольно привлекательно. Ни один автор в поисках впечатляющего научного трюка, который оправдывает перемещение персонажей в альтернативную сюжетную линию (здесь мы признаём свою вину) не может ему противостоять.

Проблема в том, что с научной точки зрения, многомировая интерпретация скорее переоценена. Конечно, способ, которым она обычно описывается, вводит в заблуждение. Фактически большая часть физики мультиверсума как правило объясняется таким вот способом. И это печально, поскольку опошляет множество глубоких и красивых идей. Предположение о том, что существует смежная с нашей реальная вселенная, где Гитлер разгромил союзные силы, является довольно отталкивающим для большинства людей. Это звучит настолько абсурдно, чтобы даже попытаться к прислушаться. «Если это и есть современная физика, то я предпочитаю чтобы мои налоги пошли на что-нибудь более полезное, вроде рефлексологии».

Наука о мультивселенной (о том, что существует множество альтернатив, которые только уместны) очень привлекательна. И в чём-то даже полезна.

И в чём-то (не обязательно в полезной составляющей) может оказаться правдой. И мы попытаемся вас убедить в том, что они не подразумевают Гитлера.

Всё началось с открытия того, что математически квантовое поведение можно описать в виде Большой Суммы. Все что происходит в действительности является суммой того что могло произойти. Ричард Файнман с присущей ему ясностью объяснил это в своей книге КЭД (Квантовая электродинамика). Представьте себе фотон, световую частицу, отскакивающую от зеркала. Вы можете выяснить его путь «сложением» всех возможных путей, по которым он может последовать. В действительности вы складываете уровень яркости и интенсивность света, а не сам путь. Путь представляет собой концентрированную полосу яркости, а затем эта полоса встречает зеркало от отскакивает под тем же самым углом.

Такое «сложение» является прямым математическим следствием законов квантовой механики, и в этом нет ничего предосудительного или даже ужасно удивительного. Оно работает, потому что все «неправильные» пути мешают друг другу, практически ничего не внося в общую сумму. Все, что в итоге выживает и является «верным» путем. Можно принять этот математический факт без возражений и посмотреть на него с физической точки зрения, а именно: свет действительно идет несколькими путями, но мы можем видеть лишь их сумму, следовательно, мы видим только один путь, на котором луч света падает на зеркало и отражается под одним и тем же углом.

С философской точки зрения такое объяснение уже менее спорно, но оно ведет к действительно сложным терминам. У физиков есть привычка использовать математические описания в буквальном смысле — не только выводы, но и действия, необходимые для их получения. Они называют это «мыслить физически», хотя получается наоборот: они как бы «проектируют» математические функции на реальный мир, «материализуя» абстракции.

Мы не говорим, что это неправильно — обычно у них получается, однако такое «овеществление» делает из отличных физиков плохих философов, так как они забывают, чем занимаются.

Одной из проблем «мышления физически» является то, что в математике иногда встречаются эквивалентные способы описания чего-либо, разные пути, чтобы сказать одну и туже вещь на математическом языке. И если верен один из них, верны и остальные. Но вот их физические воплощения могут быть противоречивыми.

Хороший пример можно найти в классической (не квантовой) механике: движущуюся частицу можно описать с помощью одного из законов Ньютона — ускорение частицы пропорционально силе, действующей на нее. С другой стороны, движение может быть описано с помощью вариационного принципа: действием называется величина, связанная с каждым из возможный путей частицы. Путь, по которому идет частица с наименьшим значением относительно остальных, и будет тем «нужным».

Логическим эквивалентом законов Ньютона и принципа наименьшего действия выступает математическая теорема. На математическом уровне нельзя принять одно из них и не принять остальные. О значении «действия» задумываться не надо, здесь это не играет роли. Важна разница между реальными интерпретациями этих двух логически одинаковых описаний.

Законы Ньютона действуют на близком расстоянии. То, куда пойдет частица здесь и сейчас, зависит только от сил, действующих на нее здесь и сейчас. Особой мудрости здесь не требуется- надо лишь соблюдать эти правила.