Логика - Александр Ивин

Слово «модус» в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения. «Модус поненс» – термин средневековой логики, обозначающий определённое правило вывода и соответствующий ему логический закон.

Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого

Здесь «если A, то B» и «A» – посылки, «B» – заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:

Если A, то B. А. Следовательно, В.

Благодаря этому правилу от посылки «если A, то B», используя посылку «A», мы как бы отделяем заключение «B». Например:

Если у человека грипп, он болен.

У человека грипп.

Человек болен.

Это правило постоянно используется в наших рассуждениях. Впервые оно было сформулировано, насколько можно судить, учеником Аристотеля Теофрастом ещё в III в. до н.э.

Соответствующий правилу отделения логический закон формулируется так:

(А → В) & A → B,

если верно, что если A, то B, и A, то верно B. Например: «Если при дожде трава растёт быстрее и идёт дождь, то трава растёт быстрее».

Рассуждение по правилу модус понёс идёт от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным её движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания.

Например, правильным является умозаключение:

Если висмут – металл, он проводит электрический ток.

Висмут – металл.

Висмут проводит электрический ток.

Но внешне сходное с ним умозаключение:

Если висмут – металл, он проводит электрический ток.

Висмут проводит электрический ток.

Висмут металл.

логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно от истинных посылок прийти к ложному заключению. Например:

Если человек собирает марки, он коллекционер.

Человек – коллекционер.

Человек собирает марки.

Далеко не все коллекционеры собирают именно марки; из того, что человек коллекционер, нельзя заключать, что он собирает как раз марки. Истинность посылок не гарантирует истинности заключения.

Против смешения правила модус поненс с указанной неправильной схемой предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия заключать можно, от подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.

Модус толленс

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждения:

Другая запись:

Если A, то B. Не-B. Следовательно, не-A.

Эта схема часто называется принципом фальсификации: если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания данного высказывания. Например:

Если гелий – металл, он электропроводен.

Гелий неэлектропроводен.

Гелий – не металл.

Модус понендо толленс

Этим именем средневековые логики обозначали следующие схемы рассуждения:

Другая запись:

Либо A, либо В. А. Следовательно, не-B.

Либо A, либо В. В. Следовательно, не-А.

Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:

Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге.

Он родился в Москве.

Неверно, что Достоевский родился в Петербурге.

Дизъюнкция, входящая в данную схему, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающей дизъюнкцией (первое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению:

На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт.

На Южном полюсе был Амундсен.

Неверно, что там был Скотт.

Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно, Правильным является умозаключение:

На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.

На этом полюсе первым был Амундсен.

Неверно, что там первым был Скотт.

Модус толлендо поненс

Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не первое; значит, второе. Первая посылка умозаключения – разделительное (дизъюнктивное) высказывание, вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из членов дизъюнкции; заключением является другой её член:

Или:

Другая форма записи:

A или B. Не-A Следовательно, В.

A или B. Не-B. Следовательно, А.

Например:

Множество является конечным или оно бесконечно.

Множество не является конечным.

Множество бесконечно.

Иногда эту схему рассуждения именуют дизъюнктивным силлогизмом.

С использованием логической символики умозаключение формулируется так:

Или:

В современной логике модус толлендо поненс называется также правилом удаления дизъюнкции. Ему соответствует логический закон:

(A v B) & ~ A → B,

если A или B и ~ A, то В.

Законы де Моргана

Широкое применение находят законы, названные именем американского логика А. де Моргана и позволяющие переходить от утверждений с союзом «и» к утверждениям с союзом «или», и наоборот:

~ (A & B) → (~ A v ~ В),

если неверно, что есть и первое, и второе, то неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе;

( ~ A v ~ В) → ~ (А & В),

если неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе, то неверно, что есть первое и второе. Используя эти законы, от высказывания «Неверно, что изучение логики и трудно, и бесполезно» можно перейти к высказыванию «Изучение логики не является трудным, или же оно не бесполезно». Объединение этих двух законов даёт закон (↔ – эквивалентность, «если и только если»):

~(A & B) ↔ (~ A v ~ B).

Словами обычного языка этот закон можно выразить так: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».

Ещё один закон де Моргана утверждает, что отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:

~ (A v В) ↔ ( ~ А & ~ В),

неверно, что есть первое или есть второе, если и только если неверно, что есть первое, и неверно, что есть второе. Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии». На основе законов де Моргана связку «и» можно определить, используя отрицание, через «или», и наоборот:

– «A и B» означает «неверно, что не-A или не-B»,

– «A или B» означает «неверно, что не-A и не-В».

К примеру: «Идёт дождь и идёт снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».

Закон приведения к абсурду

Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-то положения путём выведения из него абсурда, т.е. логического противоречия. Если из высказывания A выводится как высказывание B, так и его отрицание, то верным является отрицание A. Например, из высказывания «Треугольник – это окружность» вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольником значит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не является окружностью».