Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Но гораздо больше математиков настроены пессимистично. Один из величайших математиков XX в. Герман Вейль сказал в 1944 г.: 

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.

Говоря словами Гете, «история науки — это сама наука». 

Разногласия по поводу того, что такое настоящая математика, и существование многочисленных вариантов оснований математики не только серьезно сказались на самой математике, но и оказали самое непосредственное влияние на физику. Как мы увидим, далее, наиболее развитые физические теории ныне полностью «математизированы». (Разумеется, выводы таких теорий интерпретируются посредством так или иначе наблюдаемых «чувственных», подлинно физических объектов: сидя у радиоприемников, мы слышим реальные голоса, чему не мешает отсутствие представления о том, что такое радиоволны.) Поэтому ученых — даже тех, кто не работает непосредственно над решением фундаментальных проблем, — не может не занимать вопрос о судьбах математики, которую они могут применять с уверенностью, не рискуя затратить годы на изыскания, некорректные в силу сомнительности использования математического аппарата. 

Утрата критериев абсолютности истины, все возрастающая сложность математики и естественных наук, неуверенность в выборе правильного подхода к математике привели к тому, что большинство математиков оставили вопросы оснований. С проклятием «Чума на оба ваши дома!» они обратились к тем областям математики, где методы доказательства казались им надежными. Они нашли также, что проблемы, придуманные человеком, более привлекательны и легче поддаются решению, чем проблемы, поставленные природой. 

Кризис математики и порожденные им конфликты по поводу того, что такое настоящая математика, отрицательно сказались и на применении математической методологии ко многим областям культуры: к философии, социальным и политическим наукам, этике и эстетике. Надежда на то, что удастся найти объективные, непреходящие законы и эталонные образцы знания, развеялась. «Век разума» закончился. 

Несмотря на неудовлетворительное состояние математики, многочисленные существенно различные подходы, разногласия по поводу приемлемости аксиом и опасности возникновения новых противоречий, могущих подорвать значительную часть математической науки, многие математики продолжают применять математику для описания физических явлений и даже расширяют сферу ее применимости на экономику, биологию и социологию. Безотказная эффективность математики подсказывает две темы для обсуждения. Во-первых, такая эффективность может рассматриваться как критерий правильности. Разумеется, подобный критерий имеет временный характерно, что сегодня считается правильным, в дальнейшем может оказаться неверным. 

Вторая тема ставит нас перед загадкой: почему математика вообще эффективна, если вопрос о том, что такое настоящая математика, вызывает столько споров ([96]*; [4])? Не творим ли мы чудеса, пользуясь при этом несовершенными средствами? Пусть человек заблуждается, но разве может и природа также заблуждаться до такой степени, чтобы поддаться математическому диктату человека? Безусловно, нет. А как быть с успешными полетами на Луну, исследованиями Марса и Юпитера, ставшими возможными благодаря технике, существенно зависящей от математики: разве они не подтверждают математические теории космоса? Как же можно в таком случае говорить об искусственности и неединственности математики? Может ли тело продолжать жить, если разум и дух помутились? Может! И это относится и к человеку, и к математике. Итак, нам надлежит выяснить, почему, несмотря на шаткие основания и взаимоисключающие теории, математика оказалась столь непостижимо эффективной. 

I

Становление математических истин

Трижды счастливы души, которым дано

Подняться до истин подобных и звездное небо измерить!

Взорам их без помех дальние звезды открылись,

В цепи прочные мысли своей ширь эфира они заковали.

Так люди достигли небес — не как встарь,

В тщетной гордыне взгромоздивши горы на горы.

Овидий

Любая цивилизация, достойная так называться, занимается поиском истин. Мыслящие люди не могли не пытаться понять многообразие явлений природы, разгадать тайну появления на Земле человека, постичь смысл жизни и выяснить предназначение человека. Во всех древних цивилизациях, кроме одной, ответы на эти вопросы давались религиозными лидерами и принимались всеми. Единственным исключением была цивилизация, созданная древними греками. Греки совершили открытие, величайшее из когда-либо совершенных человеком: они открыли могущество разума. Именно греки классического периода, достигшего наивысшего расцвета в период VI-III вв. до н.э., поняли, что человек наделен способностью мыслить, наделен разумом, который, опираясь на наблюдение или опыт, способен открывать истины. 

Нелегко ответить на вопрос о том, что привело греков к их открытию. Первые попытки осмыслить окружающий человека мир были сделаны в Ионии, греческих поселениях в Малой Азии, и многие историки пытались объяснить это сложившейся в Ионии общественно-политической обстановкой. Так, в Ионии была более свободная, чем в европейской Греции, политическая структура, что повлекло за собой определенное пренебрежение к традиционным религиозным верованиям. Однако наше знание греческой истории до VI в. до н.э. носит настолько фрагментарный характер, что невозможно дать сколько-нибудь исчерпывающее объяснение отмеченному феномену. 

Со временем греки принялись размышлять над политическими системами, этикой, юриспруденцией, рациональными путями воспитания молодежи и многими другими видами человеческой деятельности. Их главный вклад, оказавший решающее влияние на всю последующую культуру, состоял в том, что они взялись за изучение законов природы. Прежде и греческая, и другие цивилизации древности рассматривали природу как нечто хаотичное, капризное и даже устрашающее. Все происходящее в природе было необъяснимо или приписывалось воле богов, умилостивить которых можно было молитвами, жертвоприношениями и другими ритуалами. Древние вавилоняне и египтяне, создавшие великие цивилизации за 3000 лет до н.э., заметили периодичность в движениях Солнца и Луны и даже разработали на этой основе календари, но не придавали своим открытиям особого значения. И эти исключительные по глубине и важности наблюдения не оказали решающего влияния на отношение людей к природе. 

Греки осмелились взглянуть природе в лицо. Древнегреческие мыслители отвергли традиционные доктрины, веру в сверхъестественные силы, догму, сбросив путы, сдерживающие мысль. Греки первыми начали изучать разнообразные загадочные и сложные явления природы и предприняли попытку понять их. Свой разум они противопоставили хаосу на первый взгляд случайных явлений природы и вознамерились пролить на них свет. 

Обладая беспредельной любознательностью и незаурядным мужеством, греки ставили вопросы (и находили ответы на них), которые служили пищей для серьезных размышлений и решались мыслителями высочайшего ранга. Лежит ли в основе всего, что происходит во Вселенной, некий единый план? Обязаны ли растения, животные, люди, планеты, свет, звук и т.д. своим появлением игре случая или же они являются частью какого-либо грандиозного плана? Обладая богатым воображением — что способствовало созданию нового взгляда на мир, — греки выработали концепцию Вселенной, ставшую основной на всех последующих этапах развития европейской мысли. 

Греческие мыслители стали по-новому относиться к природе. Их отношение было рациональным, критическим и нерелигиозным. Греки отказались от мифов, равно как и от веры в богов, по своей прихоти правящих человеком и всем миром. Постепенно греческие мыслители создали учение об упорядоченной природе, бесперебойно функционирующей по единому плану. Все явления, доступные нашим органам чувств, — от движения планет до трепетания листьев на дереве — грекам удалось уложить в четкую, согласованную в деталях, понятную картину. Короче говоря, оказалось, что природа устроена рационально, и единый план, лежащий в ее основе, хотя и не поддается воздействию со стороны человека, вполне постижим.