Что такое информация? - Эдуард Казанцев

2.1. Структура математики

2.1.1. Становление современной математики

Математика (по-гречески буквально — «знание») — это наука о количественных отношениях и пространственных формах нашего мира. Но чтобы исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо отделить их от содержания. В результате мы приходим к, так называемой, абстрактной математике. И чем больше развивается абстрактная математика, тем больше ее приложений мы используем в рамках, так называемой прикладной математики. Существует и обратный процесс: потребности практики или других наук приводят к появлению новых математических методов. Однако это всегда мешало формированию математики как независимой, самостоятельной абстрактной науки, о чем мечтает любой профессиональный математик. Хотя большая часть математики была создана благодаря потребностям практики, в первую очередь — физики, название «прикладная математика» во многом условно, так как математики постоянно стремятся создать свою науку, такую же фундаментальную, как физика. У физики есть объективные правила игры — законы природы; есть объективный критерий правильности теории — опыт; есть четко сформулированная цель — Единая теория всех частиц и полей. Однако, обусловленный успехами физики технический прогресс опережает биологические возможности человека в осмыслении его негативных последствий.

Физику можно достаточно строго разделить на теоретическую (дающую предсказания) и экспериментальную (проверяющую эти предсказания). Долгое время физический эксперимент был единственным критерием правильности физической теории. Но для многих современных физических теорий постановка эксперимента стала невозможной (например, в теории Вселенной), поэтому правильность таких теорий может быть подтверждена только непротиворечивостью используемой математики. Таким образом, у прикладной математики (долгое время «обслуживающей» теоретическую физику) появился свой собственный критерий правильности — абстрактная («чистая») математика. В этой связи, позиции теоретической физики и прикладной математики (которую иногда называют теоретической математикой) чрезвычайно сблизились и даже часто эти названия воспринимаются как синонимы. В настоящее время прикладная математика стремится придать физическим теориям, страдающим недостатком математической строгости, необходимую им непротиворечивость, восполняя, таким образом, отсутствующий экспериментальный критерий правильности.

К сожалению, глобальная цель, которую физика для себя сформулировала достаточно четко, в математике еще не созрела.

Современная математика растет стремительно и непрерывно, не зная, типичных для физики, кризисов и перестроек, обогащая нас все новыми идеями и фактами. Но любая деятельность, лишенная цели, тем самым теряет и смысл. Не имея цели, математика не может выработать и представление о своей форме, ей остается в качестве идеала — ничем не регулируемый рост, а вернее, расширение по всем направлениям. Справедливости ради следует заметить, что отсутствие цели и смысла относится почти ко всей деятельности современного человечества.

Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика, по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, благодаря которой может направлять свое развитие. Она должна, следовательно, заимствовать цель извне и вероятней всего это должно произойти на основе все большего сближения теоретической физики и теоретической математики.

Исторически первыми зачатками математики были арифметика, геометрия, алгебра и тригонометрия, развитие которых полностью определялось практическими потребностями человека (VI в. до н. э. — XVI в. н. э.). Этот период можно назвать периодом статической математики (числа, величины, фигуры и т. д.).

В XVII веке появились первые идеи описать математическим языком явления движения или изменения. Самостоятельным предметом изучения математики становится сама зависимость между величинами. На первый план выдвигается понятие функции. Появилась возможность ввести в явном виде идею бесконечности, с парадоксами которой столкнулись еще философы древних веков (например, парадокс черепахи и Ахиллеса). Строго говоря, идея бесконечности привела к введению понятия непрерывной функции, которое позволило построить дифференциальное исчисление, получившего название математического анализа, хотя точнее надо было бы все это назвать непрерывной математикой. Причем новые понятия в математическом анализе получали свое оправдание будто бы в соответствии с реальными соотношениями вещественного мира. Так, например, реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике, хотя это далеко не очевидно.

2.1.2. Дискретная математика

Парадоксально, но до XIX века никто не обратил внимания на тот факт, что реальный мир состоит из дискретных объектов и понятие непрерывной функции не имеет никаких аналогов в реальном мире.

Бурное развитие математики в XIX веке заставило обратить внимание на необходимость логического обоснования математики, то есть необходимо было критически пересмотреть ее исходные положения (аксиомы). Как мы уже отмечали, критерием правильности математики может быть только ее непротиворечивость. Однако до сих пор идет сильное отставание математики в строгом логическом обосновании многих математических методов, широко применяемых в современной теоретической физике, где много ценных результатов получается при помощи незаконных математических приемов.

Только в конце XIX века сложился стандарт требований к логической строгости развития математических теорий. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с дискретным множеством объектов, связанных между собой некоторыми логическими отношениями. Новый стандарт позволил не только обосновать многие математические теории, но и систематизировать их. Однако вопрос цели в математике по-прежнему оставался открытым, вызывая головную боль у философски думающих математиков.

Тем не менее, в конце XIX века определился круг интересов так называемой дискретной (конечной) математики, основные разделы которой (теория матриц, теория групп, теория множеств, математическая логика, теория вероятностей, теория алгоритмов и т. д.) разрабатывались еще в XVII–XVIII веках одновременно с элементами непрерывной математики.

Более того, элементы дискретной математики возникли в глубокой древности. Типичными для того периода были задачи, связанные со свойствами целых чисел — Диофант (3 век), и приведшие затем к созданию теории чисел — Л. Эйлер (1707–1783), К. Гаусс (1777–1855).

Позже, в основном в связи с игровыми задачами, появились элементы комбинаторного анализа и дискретной теории вероятностей — Б. Паскаль (1623–1662), П. Ферма (1601–1665). Затем возникли важнейшие понятия алгебры, такие как группа, поле, кольцо и др. — Ж. Лагранж (1763–1813), Э. Галуа (1811–1832), имевшие, по существу, дискретную природу.

В середине 19 века Л. Эйлер заложил основы теории графов, которая в дальнейшем привела к созданию эффективных методов решения транспортных задач. Тогда же появилась теория матриц — У. Гамильтон (1805–1865), А. Кэлли (1821–1895), К. Вейерштрасс (1815–1897).

Теорию множеств разработал Г. Кантор (1845–1918), которая встретила со стороны его современников резкое сопротивление, но впоследствии оказала большое влияние на развитие математики. Теория множеств является фундаментом ряда новых математических дисциплин. Постепенно теоретико-множественные методы находят все большее применение и в классических частях математики: дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория вероятностей и др. Однако в вопросах обоснования математики, теория множеств сама нуждается в обосновании применяемых в ней методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения