Пять возрастов Вселенной - Фред Адамс

Несмотря на то, что кривизна трехмерного пространства — вопрос не самый простой, читателю не составит труда понять идею кривизны двумерного пространства. Попробуем заново исследовать знакомое каждому из нас понятие круга. В двумерном пространстве круг — это совокупность точек, которые лежат на определенном расстоянии от центральной точки. В обычной плоской двумерной плоскости длина границы круга (окружности) в π = 3,14159… (пи) раз больше, чем расстояние от одной точки окружности до строго ей противоположной (диаметр). Это отношение можно проверить экспериментальным путем, если самым тщательным образом провести измерения круга, нарисованного на листе бумаги.

Далее, предположим, что мы могли бы измерить параметры больших кругов, нарисованных на поверхности Земли. Для проведения этого эксперимента находим идеально гладкую равнину (например, полярное плато в Антарктике) и привязываем к стойке (расположенной, например, на Южном Полюсе) длинную веревку. Затем мы измеряем расстояние, которое пройдем по кругу вокруг полюса. Если мы сделаем несколько измерений такого рода, каждый раз используя более длинную веревку, мы обнаружим нечто любопытное о получающихся кругах. Если взять веревку длиной десять миль, диаметр круга окажется в 1,000001 раз длиннее, чем нужно, т. е. длиннее диаметра, который получается, если измеренную длину окружности поделить на π. Если длина веревки будет сто миль, то диаметр круга окажется длиннее в 1,0001 раз. Если мы возьмем веревку длиной в 6250 миль, так что она протянется от Южного Полюса до Экватора, то расстояние «поперек круга» составит половину расстояния «по кругу»: в 1,57 раз длиннее.

Круги, очерченные на Земле, ведут себя так, потому что Земля представляет собой кривую двумерную поверхность. Мы без труда можем представить кривизну сферической поверхности, потому что видим, как она располагается в плоском трехмерном пространстве. Однако, к сожалению, визуальное представление искривленного трехмерного пространства требует от нас умения представить четырехмерное пространство, в котором располагается интересующее нас трехмерное. Это крайне сложно для человеческого разума.

Если искривленная поверхность ведет себя подобно поверхности Земли, в том смысле, что диаметр круга длиннее частного длины ее окружности и π, то мы говорим, что данная поверхность имеет положительную кривизну. Аналогично, если диаметр круга меньше длины его окружности, поделенной на π, кривизна отрицательна.

Общая теория относительности гласит, что кривизну трехмерного пространства вызывает масса. Радиус гипотетической сферы, окружающей массивное тело, немного длиннее, чем тот, который получился бы из измерения расстояния вокруг экватора этой сферы. Точно так же, фактический объем, содержащийся внутри сферы, которая окружает место сосредоточения массы, больше, чем тот объем, который можно было бы предсказать из измерения поверхности этой сферы и последующего применения формул обычной евклидовой геометрии.

Кривизна, создаваемая массой Земли, очень мала. Расстояние до центра Земли приблизительно на полтора миллиметра длиннее, чем частное от деления длины окружности нашей планеты на 2π. В этом смысле геометрия нашего локального пространства отличается от идеальной плоскостности на одну четырехмиллиардную. Если бы Земля была тяжелее, она создавала бы более сильную кривизну. Объекты с большей массой способны создавать и большую кривизну. Расстояние от центра до поверхности Солнца, например, приблизительно на полкилометра длиннее, чем частное длины его окружности и 2π. Белые карлики и нейтронные звезды, которые гораздо плотнее Солнца, создают гораздо большие значения кривизны в примыкающих к ним областях. Расстояние до центра нейтронной звезды почти на десять процентов больше, чем частное от деления окружности этой звезды на 2π.

Кривизну трехмерного пространства вблизи плотной звезды можно изобразить с помощью графического метода, именуемого диаграммой вложения. Чтобы создать одну из таких диаграмм, мы сначала мысленно разрезаем звезду пополам. Затем мы показываем внутреннюю кривизну в экваториальной плоскости, изображая эту плоскость в виде кривой двумерной поверхности в плоском трехмерном пространстве (см. рис. 18). С помощью этой хитрости можно получить некоторое представление о пространственных отношениях между точками, лежащими на экваториальном поперечном сечении звезды. Диаграмма вложения показывает, что «кусочек» пространства, проходящего через нейтронную звезду, имеет положительную кривизну. На данной диаграмме графическое прогибание двумерной экваториальной плоскости показывает, почему диаметр плотной звезды удивительно велик по сравнению с длиной ее окружности. Другими словами, пространство, занятое звездой, описываемой с помощью данной диаграммы вложения, имеет положительную кривизну.

Рис. 18. Диаграмма вложения, которая помогает визуально представить кривизну пространства, создаваемую массивным сферическим телом. Прогибание поверхности показывает пространственное отношение между точками, лежащими на поперечном сечении плотной сферы

Вблизи черной дыры локальная кривизна пространства настолько велика, что расстояние до центра черной дыры бесконечно длиннее, чем длина ее окружности (поверхности этой дыры с радиусом Шварцшильда). Именно из-за этого бесконечного искажения пространства внутри черной дыры эти объекты кажутся такими странными. Эта кривизна создает горизонт событий, кривизна вызывает сильнейшую разницу в течении времени для разных наблюдателей, и кривизна же дарует крупным черным дырам стойкость, которая позволит им прожить до крайне отдаленного будущего.

Приливные силы

Эйнштейн показал, что кривизна пространства, вызванная сосредоточением массы, создает приливную силу. Дурная слава звездных черных дыр обусловлена, в основном, чрезвычайно большими приливными силами, которые действуют вблизи их горизонтов событий. Но что же такое эта приливная сила? Ответ лучше всего дать на примере. Если вы стоите на поверхности Земли, ваша голова находится несколько дальше от ее центра, чем ноги. Поскольку сила гравитации, с которой на вас действует Земля, ослабевает с увеличением расстояния, сила гравитации, действующая на вашу голову, будет чуть слабее, чем сила, действующая на ваши ноги. Из-за этой разницы ваше тело подвергается растяжению. К счастью, этот приливный эффект достаточно мал. В силу того что Земля создает совсем крошечную кривизну пространства, приливная сила растяжения примерно в два миллиона раз меньше самой силы гравитации, и поэтому, гуляя по поверхности Земли, мы этой силы не чувствуем.

Однако вблизи поверхности черной дыры приливные силы огромны. Для пущей ясности вообразите, что вы находитесь неподалеку от черной дыры, имеющей массу Солнца. Ее шварцшильдовский радиус составляет всего около трех километров. Если бы вам удалось встать на поверхность черной дыры, ваше тело опять-таки подверглось бы действию приливной силы растяжения. Однако на этот раз эта сила в миллиард раз превышает силу притяжения Земли. Другими словами, вы оказались бы под действием растягивающей силы примерно в сто миллиардов фунтов. Столь мощные приливные силы разорвали бы на мелкие кусочки любой обычный макроскопический объект: будь то камень, космический зонд или астронавт.

Кроме того, приливные силы создают еще один эффект. Они сжимают объекты в перпендикулярном направлении. Поскольку гравитационные силы всегда направлены радиально внутрь, к центру черной дыры (или любого другого массивного объекта), сила, действующая на одну сторону тела, направлена немного иначе, чем та, что действует на другую его сторону. Эта разница в направлениях порождает эффект сжатия. Как и в случае приливного растяжения, в слабом гравитационном поле, вроде того, что существует на поверхности Земли, величина этой дополнительной силы крайне мала. Однако вблизи черной дыры эти сжимающие силы могут быть огромны, примерно так же велики, как и приливные силы растяжения. Так вот: вообразите, что вы стоите вблизи поверхности черной дыры, имеющей массу Солнца. В вертикальном направлении ваше тело растягивает сила в сто миллиардов фунтов, тогда как в горизонтальном направлении вас сжимает примерно такая же сила: довольно неприятная перспектива.

Если масса черной дыры увеличивается, то ее гравитационное действие усиливается, но приливные силы вблизи ее поверхности ослабевают. В непосредственной близости от черной дыры, имеющей массу миллиарда Солнц, например, приливные силы настолько умеренны, что позволяют астронавту пересечь горизонт событий и не почувствовать при этом особого дискомфорта. Однако эти сверхмассивные черные дыры таят для будущих космических путешественников свои собственные опасности. Слабость приливных сил и совершенная чернота такой черной дыры позволяют пересечь радиус Шварцшильда — точку невозвращения, — прежде чем станет ясно, что все потеряно.