Кибернетика или управление и связь в животном и машине - Норберт Винер

Мы переходим теперь к математической формулировке задачи о линейной обратной связи. Пусть структурная (не электрическая!) схема нашей системы имеет вид, как на рис. 2.

 

Рис. 2

Здесь входной сигнал двигателя, обозначенный через Y, равен разности между первоначальным входным сигналом Х и выходным сигналом умножителя, умножающего выходную мощность AY двигателя на коэффициент λ. Тогда

           (4.18)

и

 ,          (4.19)

откуда выходной сигнал двигателя

 .          (4.20)

Следовательно, оператор, создаваемый всем механизмом обратной связи, равен A/(1+ λA). Он будет бесконечно большим тогда и только тогда, когда А= —1/λ. Кривая (4.17) для этого нового оператора будет иметь вид [c.170]

 ,          (4.21)

и ∞ будет внутренней точкой этой кривой тогда и только тогда, когда —1/λ является внутренней точкой первоначальной кривой (4.17)[149].

В этом случае обратная связь с коэффициентом λ, несомненно, произведет нечто катастрофическое, и эта катастрофа практически выразится в том, что система придет в неограниченные, нарастающие колебания. Если же точка —1/λ внешняя, то можно показать, что никаких неприятностей не будет, и обратная связь будет устойчивой. Случай, когда точка —1/λ лежит на эффективной границе, требует особого исследования. В большинстве случаев система может прийти при этом в колебание с амплитудой, которая не будет увеличиваться.

Пожалуй, полезно рассмотреть несколько операторов А и допустимые для них диапазоны обратной связи. Мы будем рассматривать не только операции (4.02), но и их пределы, предполагая, что к последним применимы те же рассуждения.

Если оператор А соответствует дифференциальному оператору, то A(z)=z; тогда при изменении y от —∞ до ∞ точно так же изменяется и А (y), и внутренние точки являются внутренними точками правой полуплоскости. Точка —1/λ всегда является внешней, и любая степень обратной связи возможна.

Если

 ,          (4.22)

то кривая (4.17) принимает следующий вид:

 ,          (4.23)

или

 , ,          (4.24)

что можно также записать в виде

           (4.25)

[c.171]

Таким образом, наша кривая есть окружность с радиусом 1/2 и центром в точке (1/2, 0). Обход ее совершается по часовой стрелке, и внутренними будут те точки, которые обычно считаются внутренними. В этом случае обратная связь также неограниченна, ибо точка —1/λ всегда находится вне круга. Оператор a(t), соответствующий этому оператору А, будет равен

 .          (4.26)

Положим теперь

 ,          (4.27)

тогда (4.17) принимает вид

           (4.28)

Или

 ,           (4.29)

что дает

           (4.30)

или

           (4.31)

Тогда

           (4.32)

В полярных координатах при u = ρ соs φ, v = ρ sin φ получим

           (4.33)

или

           (4.34)

Иными словами, [c.172]

           (4.35)

Можно показать, что оба эти уравнения изображают одну кривую — кардиоиду с вершиной в начале координат и острием, направленным вправо. Внутренняя область этой кривой не содержит точек отрицательной действительной оси; как и в предыдущем случае, допустимое усиление неограниченно. Оператор а(t) для этого случая имеет следующий вид:

           (4.36)

Положим еще

           (4.37)

Определим ρ и φ, как в предыдущем случае. Тогда

           (4.38)

Как в первом случае, отсюда получим

           (4.39)

т. е.

           (4.40)

Эта кривая имеет форму, показанную на рис. 3[150]. Заштрихованная область изображает внутренние точки. Коэффициент обратной связи не может быть больше 1/8. Соответствующий оператор a(t) равен

           (4.41)

 

Рис. 3

Наконец, пусть наш оператор, соответствующий A, представляет собой простую задержку на Т единиц [c.173] времени. Тогда

           (4.42)

и

           (4.43)

Кривая (4.17) в этом случае представляет собой единичную окружность с центром в начале координат, проходимую в направлении часовой стрелки со скоростью, равной единице. Внутренней областью кривой будет внутренняя область в обычном смысле, и предельная обратная связь равна 1.

Отсюда можно вывести одно весьма интересное заключение. Оператор 1/(1+kz) можно компенсировать произвольно сильной обратной связью, что заставляет A/(1+λA) приближаться сколь угодно близко к единице в сколь угодно широком диапазоне частот. Таким образом, три последовательных оператора этого типа можно компенсировать тремя — или даже двумя — обратными связями. Но оператор 1/(1+kz)3, получаемый при последовательном соединении трех операторов 1/(1+kz), нельзя сколь угодно точно компенсировать одной обратной связью. Оператор 1/(1+kz)3 можно также записать в виде

           (4.44)

и рассматривать как предел аддитивного соединения трех операторов со знаменателями первой степени. Итак, оказывается, что сумму различных операторов, каждый из которых допускает сколь угодно точную компенсацию одной обратной связью, нельзя компенсировать таким же образом.

В ценной книге Макколла приведен пример сложной системы, которая может быть стабилизирована двумя обратными связями, но не одной. Речь идет о системе управления кораблем при помощи гирокомпаса. Наличие угла между курсом, который задал рулевой, и тем, который показывает компас, приводит к перекладке руля, создающей вследствие поступательного движения корабля вращающий момент, который изменяет курс корабля таким образом, чтобы уменьшить расхождение между заданным и действительным курсом. Если это [c.174] осуществляется путем непосредственного открывания клапанов одной рулевой машины и закрывания клапанов другой с таким расчетом, что скорость перекладывания руля пропорциональна отклонению корабля от курса, то угловое положение руля будет примерно пропорционально моменту вращения корабля и, следовательно, его угловому ускорению. Поэтому поворот корабля пропорционален с отрицательным коэффициентом третьей производной отклонения от курса, а операция, которую нужно стабилизировать обратной связью от гирокомпаса, имеет вид kz3, где k положительно. Таким образом, мы получаем для кривой (4.17) уравнение

           (4.45)

и поскольку внутренней областью служит левая полуплоскость, никакой следящий механизм не сможет стабилизировать эту систему.

В этом описании мы несколько упростили задачу управления. В действительности здесь присутствует какое-то трение, и сила, поворачивающая корабль, не определяет ускорения. Если θ — угловое положение корабля, а φ — угловое положение руля по отношению к кораблю, то

           (4.46)

и

           (4.47)

Эту кривую можно записать как

           (4.48)

и систему по-прежнему нельзя стабилизировать никакой обратной связью. Когда y изменяется от —∞ до ∞, v изменяется от ∞ до —∞, так что внутренняя область кривой расположена слева.

Если, с другой стороны, положение руля пропорционально отклонению от курса, то оператор, который мы хотим стабилизировать обратной связью, имеет вид k1z2+k2z, и кривая (4.17) будет задаваться уравнением

           (4.49)

Эту кривую можно записать как

           (4.50)

[c.175]

но на этот раз при изменении y от —∞ до ∞ u также изменяется от —∞ до ∞, а кривая наша обходится в направлении от у=—∞ до у=∞. Внешняя область кривой находится слева от нее, и возможно неограниченное усиление.