Квантовая вселенная. Как устроено то, что мы не можем увидеть - Джефф Форшоу

Если считать, что частицы имеют определенную энергию, можно запутаться, потому что, как мы только что выяснили, они описываются волновыми функциями, имеющими одинаковый размер в обеих ямах. Это подразумевает равную вероятность обнаружения электрона в обеих ямах, даже если эти ямы разделяет вся Вселенная.

Как изобразить происходящее в том случае, когда мы помещаем один электрон в одну яму, а второй электрон в другую? Мы уже говорили, что ожидаем наполнения изначально пустой ямы циферблатами, что будет отображать вероятность того, что частица может перескочить с одной стороны на другую. Мы даже намекнули на ответ, сказав, что волновая функция «размазывается» туда-сюда. Чтобы увидеть, как это происходит в действительности, заметим, что можно выразить состояние, локализованное на одном из протонов, через сумму двух волновых функций с самой низкой энергией. Мы показали это на рис. 8.2, но что это значит? Если электрон находится в определенное время в конкретной яме, это предполагает, что у него отсутствует определенная энергия. А именно: измерение его энергии даст значение, равное одному из двух возможных значений, соответствующих двум состояниям определенной энергии, которые образуют волновую функцию. Таким образом, электрон находится в двух энергетических состояниях. Мы надеемся, что на этой стадии книги подобная идея вам уже не в новинку. Но вот что интересно: поскольку эти два состояния обладают не совсем одинаковой энергией, стрелки их циферблатов вращаются с немного разной скоростью.

Рис. 8.2. Вверху: электрон, локализованный в левой яме, можно представить как сумму двух состояний с самой низкой энергией. Внизу: точно так же электрон, локализованный в правой яме, можно представить как разность двух состояний с самой низкой энергией

В результате частица, изначально названная локализованной вокруг одного протона волновой функцией, со временем будет описываться волновой функцией, размещенной вокруг другого протона. Не вдаваясь в детали, достаточно сказать, что этот феномен аналогичен тому, как две звуковые волны примерно одной частоты складываются, давая в результате волну, которая сначала будет громкой (когда две волны находятся в фазе), а затем, через некоторое время, тихой (когда две волны окажутся в противофазе). Это явление называется биениями. Когда частота волн становится все ближе, временной интервал между громким и тихим периодами увеличивается, пока, наконец, волны не обретают совершенно одинаковую частоту, образуя чистый тон. Все это знакомо любому музыканту, который, возможно, неосознанно пожинает плоды этой сферы волновой физики, пользуясь камертоном. То же самое происходит и со вторым электроном, расположенным во второй яме. Он тоже со временем переходит из одной ямы в другую, и его поведение с зеркальной точностью отражает поведение первого электрона. Хотя в начале эксперимента один электрон находится в одной яме, а другой – во второй, через довольно долгое время электроны поменяются местоположением.

Теперь используем то, что усвоили ранее. Очень интересная физика происходит, когда мы начинаем приближать атомы друг к другу. В нашей модели приближение атомов соответствует сужению барьера, отделяющего две ямы. Когда барьер истончается, волновые функции начинают сливаться, и вероятность того, что электрон окажется между двумя протонами, увеличивается. Рис. 8.3 иллюстрирует, как выглядят четыре волновые функции с самой низкой энергией, когда барьер становится тоньше. Интересно, что волновая функция с самой низкой энергией начинает напоминать волну-синусоиду с самой низкой энергией, которую мы получили бы, если бы имели дело с одиночным электроном и одиночной широкой ямой. То есть два пика сливаются, образуя единый пик (с небольшим углублением). В то же время волновая функция для чуть более высокой энергии тоже весьма похожа на волну-синусоиду, соответствующую чуть более высокой энергии для одиночной широкой ямы. Этого и следовало ожидать, потому что чем уже барьер между ямами, тем слабее его эффект, и со временем, когда барьера вовсе не останется, эффект его станет равен нулю, так что наш электрон будет вести себя точно так же, как в одиночной яме.

Рис. 8.3. Напоминает рис. 8.1, только ямы находятся ближе друг к другу. «Протечка» в пространство между ямами возрастает. В отличие от рис. 8.1, мы показываем также волновые функции, соответствующие паре энергетических уровней с чуть более низкой энергией, чем минимальная

Увидев, что происходит в крайних случаях (когда ямы находятся очень далеко и очень близко друг от друга), мы можем закончить картину рассмотрением варьирования разрешенных энергий электрона при уменьшении расстояния между ямами. Мы зарисовали результаты для четырех самых низких энергетических уровней на рис. 8.4. Каждая из четырех линий соответствует одному из четырех нижних энергетических уровней, и рядом с ними мы начертили соответствующие волновые функции. Правый край рисунка показывает волновые функции при большом расстоянии между ямами (см. также рис. 8.1). Как мы и ожидали, разница между энергетическими уровнями электронов в каждом колодце почти не ощутима. Однако когда ямы сходятся, энергетические уровни начинают отдаляться друг от друга (сравните волновые функции слева с изображенными на рис. 8.3). Интересно, что энергетический уровень, соответствующий антисимметричной волновой функции, растет, а соответствующий симметричной – уменьшается.

Рис. 8.4. Вариант разрешенных энергий электрона при изменении расстояния между ямами

Это имеет глубокие последствия для реальной системы из двух протонов и двух электронов – то есть двух атомов водорода. Помните, что в реальности два электрона могут находиться на одном энергетическом уровне, если имеют противоположные спины. Это значит, что они оба могут поместиться на самом низком (симметричном) энергетическом уровне, а самое главное – что этот уровень теряет энергию, когда атомы сходятся. Следовательно, для двух удаленных атомов сближение будет энергетически благоприятно. Именно так и происходит в природе[38]: симметричная волновая функция описывает систему, в которой электроны распределены между двумя протонами более ровно, чем можно было бы ожидать от «отдаленной» волновой функции, и, поскольку эта «распределяющая» конфигурация обладает низкой энергией, атомы притягиваются друг к другу. Это притяжение в какой-то момент прекращается, поскольку оба протона заряжены положительно и как таковые не могут не отталкиваться (и из-за равных зарядов электронов в том числе), но это отталкивание превосходит межатомное притяжение лишь на расстояниях меньше 0,1 нм (при комнатной температуре).

В результате пара атомов водорода в состоянии покоя окажется вместе. У этой пары связанных атомов водорода есть свое название: это молекула водорода.

Прикрепление двух атомов друг к другу посредством обмена электронами носит название ковалентной связи.

Вернемся к верхней волновой функции на рис. 8.3: примерно так выглядит ковалентная связь в молекуле водорода. Помните, что высота волны соответствует вероятности нахождения электрона в конкретной точке[39]. Над каждой ямой, то есть вокруг каждого протона, наблюдается пик, и это сообщает нам, что каждый электрон все еще более вероятно найти вблизи одного или другого протона. Но при этом существует и значительная вероятность того, что электроны будут располагаться и между протонами.

Химики говорят, что при ковалентной связи атомы «делят друг с другом» электроны, и это мы здесь и наблюдаем – даже в нашей модели с двумя ямами. Помимо молекулы водорода, тенденцию атомов делиться электронами мы видели, говоря о химических реакциях.

Этот вывод нас полностью удовлетворяет. Мы выяснили, что для атомов водорода, расположенных очень далеко друг от друга, тонкие различия между двумя самыми низкими энергетическими состояниями имеют лишь академический интерес, хотя они и навели нас на мысль о том, что каждый электрон во Вселенной знает обо всех остальных ее электронах. И эта мысль просто завораживает. С другой стороны, два состояния начинают все дальше расходиться, когда протоны сходятся, и более низкое состояние начинает со временем описывать уже молекулу водорода. Теперь в дело включается не просто академический интерес, потому что ковалентная связь – причина того, что вы не просто множество атомов, размазанных в бесформенную кучу.

Продолжим эту интеллектуальную линию и подумаем, что происходит, когда вместе собирается более двух атомов. Три больше двух, так что начнем с рассмотрения трехъямного потенциала, показанного на рис. 8.5. Как обычно, нужно представить, что каждое углубление – это атом. Здесь должно быть три самых низких энергетических состояния, но при взгляде на рисунок легко решить, что на каждое состояние одиночного колодца приходится по четыре. Те четыре состояния, которые мы имеем в виду, показаны на рисунке и соотносятся с волновыми функциями, которые либо симметричны, либо антисимметричны по отношению к центру двух потенциальных барьеров[40]. Этот подсчет не может быть верным, потому что иначе получилось бы, что в этих четырех состояниях могли бы находиться четыре одинаковых фермиона, нарушая тем самым принцип Паули. Чтобы принцип Паули соблюдался, энергетических состояний должно быть только три – и их, разумеется, именно столько.