Алиса в Стране Смекалки - Рэймонд Смаллиан

Случай 2: A сказал «нет», B сказал «да». Так как A отрицает, что он шпион, то A либо рыцарь, либо шпион (лжец солгал бы и сказал бы о себе, что он шпион). Если A рыцарь, то он сказал правду. Значит, B также сказал правду, когда заявил, что A сказал правду, поэтому B не может быть лжецом.

Следовательно, B должен быть шпионом. Но тогда C может быть только лжецом.

Если A шпион, то он солгал. Следовательно, B также солгал, когда утверждал, что A сказал правду. Значит, B лжец, и тогда C может быть только рыцарем. Оба возможных варианта случая 2 (2а и 2б) запишем в следующем виде:

A B C 2а Рыцарь Шпион Лжец 2б Шпион Лжец Рыцарь

Случай 3: A сказал «да», B сказал «нет». Так как A утверждает о себе, что он шпион, то (как и в случае 1) A должен быть лжецом или шпионом. Если A лжец, то он солгал, но тогда B сказал правду. Значит, либо B рыцарь (и C шпион), либо B шпион (и C рыцарь). Если A шпион, то он сказал правду, но тогда B солгал. Значит, B лжец и C рыцарь. Таким образом, в случае 3 возможны три варианта:

A B C 3а Лжец Рыцарь Шпион 3б Лжец Шпион Рыцарь 3в Шпион Лжец Рыцарь

Случай 4: A и B оба сказали «нет». Так как A отрицает, что он шпион, то (как в случае 2) A либо рыцарь, либо шпион. Предположим, что A рыцарь. Тогда A сказал правду, а B солгал. Следовательно, B лжец (а C шпион) или B шпион (а C лжец). Предположим, что A шпион. Тогда он сказал правду. Значит, B также сказал правду, поэтому B рыцарь (а C лжец). Таким образом, в случае 4 возможны три варианта (как и в случае 3):

A B C 4а Рыцарь Лжец Шпион 4б Рыцарь Шпион Лжец 4в Шпион Рыцарь Лжец

Для удобства сведем все четыре случая в одну таблицу.

A B C 1а Рыцарь Шпион Рыцарь 1б Шпион Рыцарь Лжец 2а Рыцарь Шпион Лжец 2б Шпион Лжец Рыцарь 3а Лжец Рыцарь Шпион 3б Лжец Шпион Рыцарь 3в Шпион Лжец Рыцарь 4а Рыцарь Лжец Шпион 4б Рыцарь Шпион Лжец 4в Шпион Рыцарь Лжец

Обратимся снова к условиям задачи. После того как A и B ответили на вопросы судьи, тот сумел установить, что C не шпион. В случае 3 судья не мог бы установить, шпион ли C или рыцарь. В случае 4 судья не смог бы установить, шпион ли C или лжец. Но судья со всей определенностью заявил, что C не шпион. Значит, случаи 3 и 4 отпадают и остается либо случай 1, либо случай 2.

Когда судья утверждает, что C не шпион, ему известно, что A сказал правду. Тем самым судье известно, что A либо рыцарь, либо шпион. В случае 2 судья не смог бы определить, рыцарь ли A или шпион, и установить, кто шпион. Таким образом, остается только случай 1: судья знал, что A не мог быть лжецом (так как A сказал правду). Следовательно, A должен был быть шпионом.

50. Такой же интересный случай.

Поскольку судья задал подсудимым A и B одинаковые вопросы, как и в предыдущей задаче, мы можем воспользоваться уже знакомой нам таблицей.

Рассмотрим тот момент судебного заседания, когда судья спросил подсудимого C, шпион ли тот. В этот момент судья не мог утверждать ни об одном из трех подсудимых, что тот заведомо не шпион, поскольку в противном случае судье пришлось бы освободить невиновного из-под стражи. Тем самым случаи 1 и 2 отпадают, так как в каждом из них судья бы знал, что C либо рыцарь, либо лжец, и освободил бы C. Следовательно, нам остается рассмотреть случаи 3 и 4.

Как мог рассуждать судья, выслушав ответ подсудимого C? В случае 3 судье известно, что C либо шпион, либо рыцарь. Если бы C на вопрос судьи ответил «нет», то судья не узнал бы ничего нового и не мог бы никого изобличить. Но если бы C ответил «да», то судья мог бы с уверенностью утверждать, что C шпион, так как рыцарь не мог бы сказать о себе, будто он шпион. Таким образом, в случае 3 как шпион был изобличен C.

В случае 4 судье известно, что C либо шпион, либо лжец. Если бы C ответил «да», то судья не мог бы утверждать, что C шпион (так ответить мог бы и лжец, и шпион). Но если бы C ответил «нет», то судья установил бы, что C шпион, поскольку лжец не способен сказать правду и признаться, что он не шпион. Таким образом, в случае 4 C был бы также изобличен как шпион.

Интересно отметить, что ни вы, дорогой читатель, ни я не можем сказать, какой из двух случаев (3 или 4) имеет место в действительности, как не можем узнать, что ответил («да» или «нет») C судье. Нам известно лишь, что судья смог определить, кто из обвиняемых шпион, поэтому либо все происходило, как в случае 3, и C ответил «да», либо все происходило, как в случае 4, и C ответил «нет». И в том и в другом случае C был изобличен как шпион, поэтому мы можем с уверенностью сказать, что C шпион.

51. Самый интересный случай из всех.

Воспользуемся той же таблицей, которой мы пользовались при решении двух предыдущих задач.

1-й шаг. После того как B ответил на вопрос судьи, тот освободил одного из обвиняемых из-под стражи. В случаях 3 или 4 шпионом мог бы быть любой из трех подсудимых, и судья не мог бы снять обвинение ни с одного из них. Следовательно, в действительности нам необходимо обратиться к случаям 1 и 2. В этих двух случаях C не может быть шпионом, а каждый из двух остальных обвиняемых может, поэтому судья отпустил на свободу C. Таким образом, нам известно, что C был освобожден из-под стражи и что имеет место либо случай 1, либо случай 2, а о случаях 3 и 4 мы можем теперь полностью забыть.

После того как C покинул зал суда, судья спросил, обращаясь либо к A, либо к B (к кому именно, мы не знаем), не шпион ли его сосед по скамье подсудимых, и получил ответ «да» или «нет» (но какой именно, мы также не знаем). В случае 1 существуют 4 возможных варианта, в случае 2 — еще 4 варианта, что составляет вместе 8 вариантов. Половину из них можно исключить на основании того, что судья, получив ответ, смог решить, кто из двух (A или B) шпион.

Рассмотрим случай 1. Предположим, что судья задал вопрос подсудимому A. Если бы тот ответил «да» (признав тем самым, что шпион B), то судья мог бы исключить случай 1а, так как если A лжец и B шпион, то A, утверждая, что B шпион, не мог бы сказать правду. Исключив из этих соображений случай 1а, судья знал бы, что единственно возможным остается случай 1б и что A шпион. Если бы A ответил «нет», то судья не сумел бы изобличить шпиона, поскольку A мог бы оказаться либо лжецом (который солгал, утверждая, что B не шпион), либо шпионом (который сказал правду, утверждая, что B не шпион). Следовательно, в данной задаче A не мог ответить судье «нет». Таким образом, если судья обратился с вопросом к A, то A ответил «да» и был изобличен как шпион. Предположим теперь, что судья обратился к B и спросил того, шпион ли A. Если бы B ответил «да», то судья не смог бы изобличить шпиона (в чем читатель без труда убедится, рассмотрев оба варианта 1а и 1б: ни в одном из них B не мог бы ответить «нет»). Но если бы B ответил «нет», то судья пришел бы к выводу, что B шпион (случай 1б пришлось бы отбросить, так как в противном случае рыцарь B отрицал бы, что шпион A — шпион). Таким образом, на вопрос судьи подсудимый B ответил бы «нет» и был бы изобличен как шпион. На этом анализ случая 1 завершается.

Случай 2 может быть проанализирован аналогичным образом, и мы приводим лишь общий ход доказательства, предоставляя читателю самостоятельно восполнить недостающие подробности. Итак, в случае 2, если бы вопрос был задан подсудимому A, то для того, чтобы судья мог изобличить шпиона, тот должен был бы ответить «нет». При этом шпионом оказался бы сам A. Если бы вопрос был задан подсудимому B, то для того, чтобы судья мог изобличить шпиона, тот должен был бы ответить «да». Проверку этих утверждений мы предоставляем читателю (как я уже говорил, они лишь несущественно отличаются от приведенных выше рассуждений для случая 1).