Красота физики. Постигая устройство природы - Фрэнк Вильчек

Геометрические соображения, основанные на грубой идее о том, что свет распространяется лишь вдоль прямых линий, говорят нам, что тень – это четкое деление между светом и темнотой. Но когда мы рассчитываем волновые возмущения электрического и магнитного полей, у нас получается гораздо более замысловатая структура. Свет проникает в области темноты (в зону геометрической тени), а темнота появляется и там, где должен быть свет. Вид этой структуры можно точно рассчитать при помощи уравнений Максвелла. И теперь, когда у нас есть яркие монохроматические лазеры, можно напрямую сравнивать эти предсказания с реальностью. Теперь, глядя на эту фотографию, нам остается только воскликнуть: «Разве это не прекрасно?!»

Симметрия уравнений

Изучение уравнений Максвелла открыло нам совершенно новую идею, которая ранее не играла большой роли в науке. Это идея о том, что уравнения, как и предметы, могут быть симметричными и что уравнения, которые Природа любит использовать в своих фундаментальных законах, чрезвычайно симметричны. Сам Максвелл и не догадывался об этой идее; великолепный пример того, как из физической теории можно получить гораздо больше, чем было заложено автором!

Что означает, когда говорят, что уравнения симметричны? Хотя слово «симметрия» имеет различные, часто расплывчатые значения в повседневной жизни, в математике и физике оно определяется достаточно точно. Здесь симметрия означает Изменение без изменения. Это определение может звучать таинственно или даже парадоксально, но означает нечто совершенно конкретное.

Давайте вначале посмотрим, как это странное определение симметрии прилагается к предметам. Мы говорим, что предмет симметричен, если мы можем произвести над ним действие, которое могло бы изменить его – но в действительности не изменяет. Так, например, окружность очень симметрична, потому что вы можете повернуть ее вокруг центра и, хотя каждая ее точка сдвинется, в целом она останется той же самой окружностью, тогда как, если вы возьмете какую-то менее правильную форму и станете поворачивать ее, вы будете получать нечто совершенно иное. Правильный шестиугольник менее симметричен, потому что вы должны повернуть его на 60° (1/6 часть окружности), чтобы получить ту же самую форму, а в равностороннем треугольнике симметрии еще меньше, потому что вы должны повернуть его на 120° (1/3 часть окружности). Произвольная неправильная фигура не имеет симметрии вообще.

Можно пойти и в противоположном направлении. Мы можем начать с симметрии и прийти к объектам. Например, мы можем искать кривые, которые не меняются при вращении вокруг какой-либо точки, а затем открыть, что окружности являются уникальным воплощением такой симметрии.

Та же самая идея может быть приложена к уравнениям. Вот простое уравнение:

X = Y

…которое, как вы видите, идеально уравновешено между Х и Y. Появляется искушение сказать, что оно симметрично. И, в самом деле, так и есть, согласно математическому определению. Ведь если вы замените Х на Y, а Y на Х, вы получите другое уравнение, а именно

Y = X

Это новое уравнение отличается по форме, но имеет точно то же самое содержание, что и старое. Мы получаем Изменение без изменения, т. е. симметрию.

А вот если мы поменяем местами Х и Y, уравнение Х = Y + 2 изменится на Y = X + 2, что вовсе не означает то же самое. Таким образом, это уравнение несимметрично.

Симметрия – это свойство, которым одни уравнения и системы уравнений обладают, а другие – нет.

Уравнения Максвелла, как выясняется, обладают огромным количеством симметрии. Существует множество преобразований, которые вы можете провести с уравнениями Максвелла, и они изменят их форму, но не содержание в целом. Интересные симметрии уравнений Максвелла значительно более сложны, чем тот несерьезный пример, который мы только что рассмотрели, но принцип – тот же самый.

Как в случае с предметами, так и с уравнениями мы можем пойти противоположным путем. Вместо того, чтобы составлять уравнения и затем искать, какую симметрию они позволяют отразить, т. е. идти по пути

уравнения → симметрия,

…мы можем начать с симметрии и искать уравнения, которые позволяют ее выразить:

симметрия → уравнения

Замечательно, что этот путь возвращает нас к уравнениям Максвелла! Другими словами, уравнения Максвелла – это, по существу, единственные уравнения, которые имеют симметрию, которую сами же создают. Они подобны окружностям, которые определяются своей собственной высокой симметрией вращения. Таким образом, уравнения Максвелла воплощают идеальное соответствие:

уравнения ↔ симметрия

Не будет большой натяжкой увидеть в этом соотношении пример нашего желаемого соответствия:

Реальное ↔ Идеальное

В современной физике мы выучили этот урок досконально. Мы научились переходить от симметрии к истине. Вместо того, чтобы, используя эксперименты, создавать уравнения и потом находить (к нашему восторгу и изумлению), что в этих уравнениях много симметрии, мы предлагаем уравнения, в которых заложена изначальная обширная симметрия, а затем проверяем, использует ли их Природа. Это оказалось удивительно успешной стратегией.

Темы связи, симметрии и света, затронутые в этой главе, сходятся вместе в искусстве мандалы[44]. Мандалы – это символическое представление Вселенной. Они используются как инструменты для медитации и транса. Обычно мандалы отображают высокую степень симметрии между связанными замысловатыми частями. Часто они являются цветными. Я думаю, что мандала, изображенная на вклейке R, – подходящее заключение к этой главе.

Максвелл II: Двери восприятия

Если б врата познания были открыты, людям открылась бы бесконечность.

Но люди укрылись от мира и видят его лишь в узкие щели своих пещер.

Уильям Блейк. Бракосочетание Рая и Ада[45]

В этой главе мы уделим отдельное внимание особой составляющей нашего вопроса – красивой идее о том, что, лучше понимая, как мы воспринимаем мир, мы можем расширить наш опыт познания мира.

Фантастическая «мультимедийная» поэма Уильяма Блейка «Бракосочетание Рая и Ада» стремится к тому, чтобы объединить, как заявляет автор, «то, что в религии называется Добром и Злом» (см. вклейку S). Согласно Блейку, «Добро пассивно и подчиняется Мысли. Зло активно и порождается Действием. Добро – это Рай, Зло – это Ад». Цели нашей медитации – найти гармонию Идеального и Реального и увидеть вещи целиком – говорят о том же стремлении.

Блейк обращается к образу пещеры, и эта отсылка заставляет вспомнить платонову Пещеру. Узники платоновой Пещеры видели мир черно-белым, им была неведома красота цвета. Хотя в нашем случае мы не дошли до такой крайности, мы тоже ощущаем только маленькую часть из всего, что может предложить свет.

Мы сопоставим полностью реальность света, которую призвано воспринимать зрение, с той проекцией реальности, которую человеческое зрение получает в действительности. Эту проблему любил Максвелл и многое сделал для того, чтобы ее прояснить.

В этом контексте мы подкрепим доказательствами провидческую интуицию Блейка, отвечая на два вопроса, которые он поднимает:

• Существуют ли бесконечности, которые закрыты от нас? Да. Мир физического света – это вдвойне бесконечномерное пространство, из которого мы воспринимаем только его трехмерную проекцию.

• Сможем ли мы снять с них покрывало неизвестности? Да. Вопрос не в том, возможно ли это, поскольку, разумеется, возможно, но в том, как это сделать на практике.

Наше исследование восприятия света также станет прекрасной подготовкой к пониманию глубокой сущности проекта, по которому построена сама Природа, в следующих главах.

Два вида желтого

Желтый – один из тех цветов, которые появляются в радуге и в спектре, получающемся при прохождении солнечного света сквозь призму. Спектральный желтый является одним из чистых цветов Ньютона, так же как и красный, зеленый и синий.

Но есть и другая, очень отличающаяся форма света, который выглядит желтым. Мы можем соединить спектральный красный и спектральный зеленый, чтобы получить не спектральный, но вполне убедительный цвет, который мы воспринимаем как желтый (см. вклейку Т). Полученный таким образом желтый очень отличается от спектрального желтого как физическая сущность, хотя оба этих цвета воспринимаются как идентичные.