Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса - Марио Ливио

«Начала»

Весной или летом 1684 года Ньютона в Кембридже навестил Галлей. Он уже некоторое время обсуждал законы движения планет Кеплера с Гуком и со знаменитым архитектором Кристофером Реном (1632–1723). Во время этих бесед за чашкой кофе в кофейне и Гук, и Рен заявили, что уже несколько лет назад независимо вывели закон всемирного тяготения, обратно пропорционального квадрату расстояния, однако ни тот ни другой так и не смог представить полное математическое доказательство. Галлей решил задать Ньютону наболевший вопрос: знает ли он, какой была бы орбита планеты, подвергавшейся воздействию силы, которая меняется обратно пропорционально квадрату расстояния? К его изумлению, Ньютон ответил, что уже несколько лет назад доказал, что орбита эта – эллипс. Эта история рассказана в заметке математика Абрахама де Муавра (1667–1754), страничка которой приведена на рис. 29[76].

Рис. 29

В 1684 году доктор Галлей приехал навестить его [Ньютона] в Кембридже, и когда они провели вместе некоторое время, доктор спросил его, какова, по его мнению, та кривая, которую описывали бы планеты, если предположить, что сила притяжения к Солнцу обратно пропорциональна квадрату расстояния до него. Сэр Исаак тут же ответил, что это будет эллипс, и доктор, вне себя от радости и изумления, спросил, откуда он это знает; что же, говорит Ньютон, я это вычислил; на это доктор Галлей попросил его, не откладывая, показать ему выкладки, и сэр Исаак поискал в своих бумагах, не нашел их, однако пообещал заново записать и послать доктору.

Галлей еще раз приехал к Ньютону в ноябре 1684 года. Между этими визитами Ньютон лихорадочно трудился. Де Муавр кратко описывает этот период.

Дабы исполнить свое обещание, сэр Исаак уселся за работу, однако никак не мог прийти к тому же выводу, который, как он полагал, ему удалось ранее получить со всей строгостью, однако он попробовал пойти другим путем, который, хотя и оказался длиннее прежнего, привел его еще раз к тому же выводу, а затем тщательно исследовал, по каким же причинам те вычисления, которые он проделал до этого, оказались неверными, и… добился, чтобы оба доказательства привели к одному и тому же результату.

Этот суховатый отчет не дает даже самого отдаленного представления о том, чего на самом деле достиг Ньютон за несколько месяцев между двумя визитами Галлея. Он написал целый трактат «De Motu Corporum in Gyrum» («О движении тел по орбитам»), где доказал почти все законы о движении тел по круглым и эллиптическим орбитам и все законы Кеплера и даже решил задачу о движении частицы в сопротивляющейся среде (например, в воздухе). Галлей был потрясен. К вящей своей радости, он в конце концов уговорил Ньютона опубликовать все эти поразительные открытия, и тогда наконец и сложились все условия для написания «Начал».

Поначалу Ньютон полагал, что эта книга будет всего лишь углубленной и расширенной редакцией трактата «О движении». Однако, приступив к работе, он обнаружил, что некоторые темы нуждаются в дальнейшем обдумывании. Особенно его беспокоили два вопроса. Один состоял в следующем. Ньютон первоначально сформулировал закон всемирного тяготения так, словно и Солнце, и Земля, и остальные планеты были математическими материальными точками, не имеющими измерений. Разумеется, он понимал, что на самом деле это не так, поэтому считал, что применительно к Солнечной системе его результаты лишь приблизительны. Некоторые исследователи даже полагают, что он в очередной раз отложил работу над законом всемирного тяготения после 1679 года именно потому, что такое положение дел его не устраивало[77]. Что же касается силы, действующей на яблоко, тут все было еще хуже. Ведь очевидно, что те части Земли, которые находятся прямо под яблоком, гораздо ближе к нему, чем те части, которые находятся по ту сторону земного шара. Как же вычислить результирующую силу притяжения? Астроном Герберт Холл Тернер (1861–1930) описывал мысленные терзания Ньютона в статье, напечатанной в лондонской «Times» 19 марта 1927 года.

В то время ему уже приходило в голову общее представление о том, что тяготение меняется обратно пропорционально расстоянию, однако он видел существенные препятствия обобщению этого закона, о которых умы меньшего масштаба и не подозревали. Главное из них ему удалось преодолеть лишь в 1685 году… Дело в том, что нужно было увязать силу притяжения Земли, действующую на тело, расположенное далеко, скажем, на расстоянии Луны, с силой притяжения, которая действует на яблоко вблизи земной поверхности. В первом случае различные частицы, составляющие Землю (чтобы сделать свой закон универсальным, Ньютон хотел распространить его на каждую из них в отдельности), находятся от Луны на примерно одинаковом расстоянии – и с точки зрения величины, и с точки зрения направления, – однако их расстояния до яблока и в том и в другом отношении сильно разнятся. Как же сложить или свести в единую результирующую силу все отдельные силы притяжения в последнем случае? И в каком таком «центре гравитации» они могут быть сосредоточены – да и существует ли он?

Окончательный прорыв произошел весной 1685 года. Ньютон сумел доказать необходимую теорему: для двух сферических тел «сила, с которой одна сфера притягивает другую, обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами». То есть сферические тела с гравитационной точки зрения ведут себя так, словно это точечные массы, сосредоточенные в их центрах. Значение этой теоремы и ее красивого доказательства подчеркивал математик Джеймс Уитбред Ли Глейшер (1848–1928). В обращении к участникам празднования двухсотлетия «Начал» Ньютона (в 1887 году) Глейшер сказал такие слова (Glaisher 1888).

Лишь когда Ньютон доказал эту великолепную теорему – а мы с его собственных слов знаем, что он никак не ожидал столь красивого результата, пока не получил его после математических выкладок – перед ним открылась вся механика Вселенной… Насколько же иначе стали видеться Ньютону его построения, когда он обнаружил, что его результаты для Солнечной системы, которые он предполагал лишь приблизительно верными, оказались на самом деле абсолютно точными! Можно представить себе, как этот внезапный переход от приблизительности к точности вдохновил Ньютона на еще более усердный интеллектуальный труд. Теперь в его власти было с абсолютной точностью применять математический анализ к решению актуальных астрономических задач.

Другой вопрос, который, очевидно, не давал Ньютону покоя еще тогда, когда он писал первые черновики трактата «О движении», – то обстоятельство, что он пренебрегал силой, с которой планеты притягивают Солнце. Иначе говоря, в первоначальной формулировке Ньютон свел Солнце просто к неподвижному центру сил такого рода, какой, по словам Ньютона, «едва ли существует» в реальном мире. Эта конструкция противоречила третьему закону самого же Ньютона, согласно которому «сила действия равна силе противодействия». Каждая планета притягивает Солнце с точно такой силой, с какой Солнце притягивает планету. Поэтому Ньютон добавил: «Если имеются два тела [например, Земля и Солнце], ни притягиваемое, ни притягивающее тело не могут быть в состоянии покоя». Эта незначительная на первый взгляд поправка на самом деле стала важным недостающим звеном в цепи рассуждений, которые привели к формулировке закона всемирного тяготения. Мы можем попробовать проследить логику Ньютона. Если Солнце притягивает Землю, то Земля должна тоже притягивать Солнце с той же силой. То есть Земля не просто вращается вокруг Солнца – скорее они оба вращаются вокруг общего центра тяжести. Но это еще не все. Все другие планеты также притягивают Солнце, и каждая планета, само собой, ощущает не только притяжение Солнца, но и притяжение всех других планет. Такую же логику можно применить к Юпитеру с его спутниками, к Земле и Луне и даже к яблоку и Земле. Вывод гениально прост: существует одна и только одна гравитационная сила, и действует она между двумя любыми массами в любой точке Вселенной. Именно это и было нужно Ньютону. «Начала» – 510 страниц убористого латинского текста – вышли в свет в июле 1687 года.

Ньютон провел наблюдения и опыты с погрешностью всего в четыре процента и из них вывел математическую формулу тяготения, которая оказалась точной с погрешностью в одну миллионную и даже меньше. Он впервые объединил объяснения природных явлений с мощным инструментом предсказания результатов наблюдений. Физика и математика оказались связаны навек – а развод науки и философии стал неизбежен.

В 1713 году вышло второе издание «Начал», которое основательно переработали и сам Ньютон, и в особенности математик Роджер Котс (1682–1716). На рис. 30 приведен его фронтиспис. Ньютон, который никогда не отличался добротой и приветливостью, даже не поблагодарил Котса за отличную работу в предисловии к книге. И все же, когда Котс в тридцать три года скончался от лихорадки, Ньютон выразил некоторую признательность: «Если бы он прожил дольше, мы бы наверняка что-нибудь узнали».