Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - Энрике Грасиан

Магнус Гёста Миттаг-Леффлер на фотографии 1916 года.

Эксцентричность Кантора

В марте 1874 года, во время одной из частых поездок в Берлин, Кантор познакомился с Валли Гугтман, подругой своей сестры Софи, и в августе того же года женился на ней. Валли была увлекающейся натурой, она любила музыку, и Кантор всегда относился к ней с величайшей нежностью. Тем не менее, осознавая свои слабости, он еще до свадьбы предупредил невесту, что его «без явных на то причин… могут сломить жизненные тяготы». Как бы то ни было, этот брак вполне можно назвать счастливым. У Кантора родилось четыре сына и две дочери. Унаследовав достаточную сумму, чтобы не беспокоиться о своем финансовом положении, ученый решил построить дом в Галле. На тот момент он оставил должность в Университете Галле и отказался от попыток получить работу в Берлинском университете.

К 1885 году Кантор устал от безрезультатных попыток доказать континуум-гипотезу. Он был глубоко разочарован тем, что представители математического сообщества избегали его, и отодвинул занятия математикой на второй план. В 1889 году ученый посвятил себя попыткам доказать, что произведения Шекспира (1564–1616) в действительности написаны Фрэнсисом Бэконом (1561–1626), противоречивым английским философом и политиком, который попытался претворить в жизнь важную научную реформу. В 1898 году Кантор даже прочел курс лекций о жизни и творчестве Фрэнсиса Бэкона — ив том же году был исключен из Шекспировского общества. Исследователь собрал объемную библиотеку английских авторов XVI–XVII веков, вложив в нее часть своего состояния, а также посвятил несколько лет философии и написал несколько философских работ. Интересовала его главным образом метафизика, особенно темы, имеющие отношение к актуальной бесконечности.

16 декабря 1899 года Кантор вернулся из Лейпцига, где выступал на конференции с докладом о Фрэнсисе Бэконе, и узнал о смерти своего сына Рудольфа: 13-летний музыкально одаренный мальчик отличался слабым здоровьем. После смерти сына Кантор неожиданно заявил, что сожалеет о том, что оставил музыку и занялся математикой, и в результате эта «вздорная идея» помешала ему посвятить себя истинному призванию.

Безумие

О душевной болезни Кантора, от которой он страдал в последние годы жизни, написано немало книг и высказано множество предположений. История болезни ученого не сохранилась, поэтому сложно сказать, каким был настоящий диагноз. Все указывает на то, что Кантор страдал от заболевания, которое сегодня именуют биполярным аффективным расстройством — болезнью эндогенного характера, при которой фазы эйфории сменяются депрессией. Поэтому версия, согласно которой причиной болезни Кантора стали нападки со стороны его коллег, в особенности Кронекера, выглядит неубедительно.

В последние двадцать лет жизни исследователь периодически по собственному желанию лечился в психиатрических клиниках. Это не мешало ему продолжать работу и в промежутках между лечением публиковать свои исследования. В последний раз он был помещен в клинику в 1917 году. В то время Германия была близка к поражению в Первой мировой войне, экономика страны пришла в упадок, и без того тяжелые условия пребывания в психиатрических больницах еще больше ухудшились. Это единственный раз, когда Кантор был помещен в больницу против своей воли. В письмах он жаловался на холод, одиночество и скудное питание. Хотя к этому моменту его теории уже получили широкое признание научного сообщества, 6 января 1918 года Кантор умер в ужасных условиях и в полном одиночестве.

* * *

ТРАГИЧЕСКАЯ ГИБЕЛЬ

Помимо смерти сына, большим потрясением для ученого стала гибель его младшего брата Людвига. Братья были очень близки и вместе учились в начальной школе, правда с разными успехами. Людвиг, не слишком склонный к обучению, решил заняться торговлей, в то время как Георг поступил в университет. В 1863 году Людвиг эмигрировал в США, и информация об этом периоде его жизни практически не сохранилась. Достоверно известно лишь то, что в 1870 году он умер в психиатрической больнице, куда был помещен с жалобами на глубокую депрессию. Было высказано немало предположений о том, что оба брата страдали от наследственного психического заболевания.

* * *

Теории Кантора о бесконечности входят в число самых революционных теорий в истории математики за последние 2500 лет, а многие историки науки считают теорию множеств Кантора одним из наиболее выдающихся достижений человеческой мысли.

Была ли болезнь Кантора наследственной или она возникла под влиянием обстоятельств, не столь важно. Возможно, что свою роль в равной степени сыграли оба фактора. Как бы то ни было, Кантор, подобно всем гениям, ясно видевшим то, что для остальных имело лишь бесформенные очертания, страдал от одиночества. В одной из своих философских статей, опубликованной в 1883 году, он написал слова, которые можно в равной степени расценивать и как песнь свободе, и как крик отчаяния в адрес общества, задушенного собственным догматизмом:

«Математика в своем развитии совершенно свободна и связана только одним условием: ее понятия должны быть непротиворечивы и согласованы с уже имеющимися понятиями посредством четких определений. Сущность математики — свобода».

Кантор предпочитал использовать понятие «свободная математика» вместо более общего «чистая математика».

Он умер в одиночестве в больнице, но его имя никогда не будет забыто. Лучшая эпитафия Кантору, несомненно, принадлежит Гильберту, который сказал: «Никто не может изгнать нас из рая, который Кантор создал для нас».

* * *

МНОЖЕСТВА И НАЦИЗМ

Математическое сообщество решило отдать дань уважения труду Кантора, для чего к его 70-летнему юбилею были организованы торжества, однако Первая мировая война помешала реализовать эти планы. Тогда группа немецких математиков собралась в его доме, чтобы вручить ученому в знак признания мраморный бюст, который в настоящее время хранится в Университете Галле. В период правления Гитлера этот бюст был убран, так как теория множеств считалась «еврейской математикой».

* * *

Бесконечность в XXI веке

До появления современной физики бесконечность упоминалась только в философских и богословских дискуссиях. В математике она присутствовала, можно сказать, естественным образом, так как, по словам Кронекера, «нам дана свыше» бесконечная последовательность натуральных чисел. Различия между актуальной и потенциальной бесконечностью затронули и геометрию, в которой использовалось понятие бесконечной прямой. Однако полноправным элементом математики бесконечность стала только с появлением математического анализа, анализа бесконечно малых. Как говорил Гильберт, «математический анализ можно в известном смысле назвать единой симфонией бесконечного».

Однако частью нашей повседневной реальности бесконечность стала лишь благодаря открытиям в физике и астрономии. До начала XX века астрономы считали, что Вселенная включает Солнце, планеты и далекие звезды. Спустя некоторое время они открыли, что Солнечная система — часть галактики, состоящей из нескольких миллионов солнечных систем. Постепенно пространство стало считаться достаточно большим, чтобы вместить несколько миллиардов галактик. Но почему на этом следовало остановиться? Кто сказал, что в космосе не будут обнаружены новые структуры большего размера, что позволит считать, что размеры Вселенной намного больше? Бесконечна ли Вселенная? Ответ на этот вопрос до сих пор не найден и, возможно, не будет найден никогда.

С другой стороны, чем больше ученые изучают субатомные частицы, тем более важную роль в физике начинают играть бесконечно малые величины. Атом как таковой перестал быть неделимым, каким его считали древние греки, и стал подобен Солнечной системе в миниатюре. Однако физики не остановились на этом: были открыты частицы, содержащиеся внутри атомного ядра, и их размеры составляют менее 10–15 метра. Пока что можно вести речь о невообразимо малых, но не бесконечно малых величинах. Тем не менее в одной из физических теорий, которую оказалось труднее всего подтвердить экспериментально, а именно в квантовой электродинамике, изучаются элементарные частицы, в частности электроны и кварки, которые с точки зрения математики рассматриваются как точки, следовательно, они подобны точкам вещественной прямой и ведут себя похожим образом.

Возможно, ученые когда-нибудь докажут, что в природе не существует и никогда не существовало различий между потенциальной и актуальной бесконечностью и что противоречие между ними лишь мнимое.