Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика - Хавьер Арбонес

Алгоритмическая композиция представляет собой математическое моделирование процесса вдохновения. Композитор создает алгоритм, получающий некоторую информацию на входе и выдающий другую информацию на выходе. Какой смысл в создании музыки по алгоритму? В конечном счете разумно считать музыку способом коммуникации, выражающим человеческие эмоции, индивидуальное видение реальности определенного человека. Зачем нужны машины, способные создавать музыку? Будет ли результат их работы музыкой в полном смысле этого слова? Что такое музыка вообще?

Во-первых, хотя музыка остается средством выражения возвышенного, ее роль давно вышла за эти рамки. Музыка стала частью огромного рынка, который постоянно требует появления все новых и новых песен и исполнителей. В этом смысле композитор не более чем винтик механизма, без которого в недалеком будущем можно будет обойтись. Тот факт, что человека можно заменить, не ставит под сомнение качество работы композитора и корректность алгоритма, а показывает, что и люди, и алгоритмы являются частью одной стандартизованной системы.

Во-вторых, создание алгоритма, способного «написать» качественную музыку, — это задача, перед которой сложно устоять программистам, интересующимся музыкой. Правила, по которым создается музыка, можно проанализировать математически, но этот анализ имеет предел, после которого в объяснениях неизбежно начинают фигурировать такие понятия, как «вдохновение», «духовность», «чувственность», «искусство». Можно ли преодолеть этот предел? Доступны ли человеческому интеллекту глубинные правила, по которым создается музыка? Наступит ли день, когда какой-то программист, используя современные математические методы, подобно Прометею сможет «украсть» божественный огонь вдохновения и сделать его доступным для всех?

Приложение I

Основные понятия музыкальной нотации и теории музыки

В этом приложении мы расскажем об основных понятиях теории музыки, чтобы вы смогли лучше понять, о чем идет речь в книге. Музыкальная запись — пример того, как математика применяется в искусстве. Возможно, ее применение в музыке не столь очевидно, как, например, использование геометрии в живописи, но современная музыкальная нотация содержит ряд правил и символов, которые имеют математическое происхождение или интерпретируются по математическим законам.

Музыкальная нотация не была создана в одночасье, она является результатом длительного эволюционного процесса. Не так давно стали предлагаться альтернативные, более эффективные формы нотации, но из-за широкого распространения традиционной нотации внести в нее какие-либо изменения сложно, и на перестройку понадобится длительное время.

Высота

Высотой называется воспринимаемое значение «тона». Тон — это свойство звука, напрямую связанное с частотой звуковой волны. Частота звука измеряется в герцах (Гц). Высота — это свойство, позволяющее различать высокие и низкие звуки (чем больше частота, тем выше звук), а также распознавать ноты. Человеческое ухо способно улавливать звуковые колебания частотой примерно от 20 до 20 000 Гц. Звуки более низкой частоты называются инфразвуком, более высокой — ультразвуком. Чтобы упорядочить относительные высоты звуков, в 1939 году был определен стандартный тон для ноты ля, значение которого равно 440 Гц.

Интервалы

Интервалом называется разница высот двух звуков, воспринимаемая слушателем. Интервалы называются по порядку, который соответствует числу ступеней, разделяющих звуки, включая границы интервала. Это витиеватое определение проще понять на примере. Если сыграть одновременно ноту фа и более высокую, ля, то вы услышите интервал в одну терцию (фа-соль-ля — три ноты). Ноту ля и следующую по высоте фа разделяет секста (ля-си-до-ре-ми-фа — шесть нот).

При определении интервала первым называют более низкий звук. Например, секунда образуется двумя звуками звукоряда, идущими подряд: до — ре, ре — ми, ми — фа и так далее. Терции выглядят так: до — ми, ре — фа, ми — соль, фа — ля, соль — си.

Таким образом, интервал до — ре — это секунда, интервал ре — до — септима. Полный интервал между двумя равными нотами, например до — до, называется октавой. Октава делится на 12 полутонов.

Интервалы, меньшие и равные октаве, в музыкальной нотации.

Классификация интервалов

Интервалы делятся на большие, малые и чистые в зависимости от числа полутонов. Например, два звука секунды до-ре разделены двумя полутонами, поэтому этот интервал называется большая секунда. Две ноты другой секунды, си-до, разделены одним полутоном, поэтому этот интервал называется малая секунда. Большими и малыми могут быть все интервалы, за исключением интервалов из пяти, шести и семи полутонов. Интервал в пять полутонов называется чистой квартой, в семь полутонов — чистой квинтой. Частный случай — нота, находящаяся ровно посередине октавы: в октаве до-до фа-диез удалено на шесть полутонов от более низкого до (увеличенная кварта) и на шесть полутонов от более высокого до (уменьшенная квинта).

Если звуки берутся последовательно, то такой интервал называется мелодическим. Он может быть восходящим или нисходящим. Вид интервала также указывается в его названии. Например, восходящий интервал до-ре называется восходящей большой секундой, нисходящий интервал до-ре — нисходящей малой септимой. Нисходящий интервал ре-до — нисходящая большая секунда, восходящий интервал ре-до — восходящая малая септима. В зависимости от контекста вид интервала может не указываться.

Все возможные мелодические интервалы между двумя соседними нотами.

В следующей таблице приведено количество полутонов в различных интервалах:

Обращения интервалов

Обращенным называется интервал, который в сумме с основным интервалом охватывает все 12 полутонов октавы. Основной и обращенный интервалы напоминают дополнительные углы в геометрии, что показано на рисунке:

Обращенным интервалом чистой кварты (из пяти полутонов) является чистая квинта (из семи полутонов): соль-до (чистая кварта) и до-соль (чистая квинта). Дополнительным к углу α называется такой угол β, который в сумме с ним дает 90°.

Два интервала, в сумме образующие октаву.

В следующей таблице приведены обращенные интервалы для всех основных интервалов:

Обертоны

Когда музыкальный инструмент издает звук, он имеет конкретную частоту F, но человеческое ухо воспринимает этот звук не как чистый тон, а как сумму бесконечного числа составляющих. Струна колеблется из стороны в сторону не упорядоченно, а хаотически. Звук, издаваемый струной, или любая другая нота, которую слышит наше ухо, складывается из основного тона и других призвуков — звуков меньшей интенсивности, которые называются обертонами. Нота, которую мы слышим, — это составной звук, но основной тон и все обертоны являются чистыми звуками. Из множества обертонов, составляющих звук, человеческое ухо улавливает всего 16.

На схеме изображена струна, частоты колебаний которой соответствуют первым обертонам.

Если на музыкальном инструменте исполняется нота до, то ряд из шестнадцати обертонов, воспринимаемых человеческим ухом, для этого звука будет выглядеть следующим образом:

В таблице приведены частоты различных обертонов. Например, 5-й обертон соответствует звуку, частота которого в пять раз больше частоты основного тона в 33 Гц: 33·5 = 165 Гц.

В музыкальной нотации 16 обертонам соответствуют следующие ноты:

Консонанс и диссонанс

Звуки, воспроизводимые одновременно, могут восприниматься как благозвучные (в этом случае имеет место консонанс) или неблагозвучные, напряженные (мы называем их диссонирующими). В главе 1 мы рассказали о том, что пифагорейцы считали причиной благозвучия или неблагозвучия особое соотношение длин струн, издававших эти звуки. Иными словами, для пифагорейцев согласованность звуков определялась соотношением их частот. Пифагорейцы считали октаву (она разделяет два звука, исполняемые на струнах, соотношение длин которых 1:2), квинту (соотношение длин струн для нее 2:3) и кварту (3:4) благозвучными. Другие интервалы, производные от трех основных, оказывались диссонирующими, так как соотношения частот для соответствующих звуков выражались сложными числами. На следующих иллюстрациях указаны основные интервалы и соотношения частот звуков, соответствующих границам этих интервалов: