Для юных математиков. Веселые задачи - Яков Перельман

Наш подсчет только примерный: он сделан в предположении, что каждый стерженек замка может быть разделен надвое только 10-ю способами. В действительности это возможно сделать, вероятно, большим числом способов, и тогда число различных замков значительно увеличивается.

Решение задачи № 60

«Скромная награда» не могла быть выдана потому, что не только в Индии, но и во всем мире нет того количества зерен, какое она насчитывает!

Самое вычисление затребованной суммы зерен представляет собой нелегкую задачу. В самом деле: требуется сложить ряд чисел:

1+2+4+8+16+32+64+128+ и т. д.

Здесь выписаны только первые 8 чисел. Но остается еще 56. Чтобы узнать последнее, 64-е число, нужно умножить число 2 само на себя 62 раза. Индусы, – они не знали еще логарифмов, сокращающих подобные вычисления, – должны были выполнить это умножение обычными приемами арифметики; а стоит лишь приступить к этой работе, чтобы ощутить, насколько это утомительно. Правда, можно облегчить себе работу и сэкономить много времени, разбив наши 63 множителя на группы, по 7 двоек в каждом; тогда придется перемножить «только» 9 множителей, каждый из которых равен 128, – или же, если хотите, «всего» три множителя, каждый из которых = (128x128x128). Но на деле вы убедились бы, что слова «только» и «всего» недаром взяты здесь в кавычки, потому что работы остается предостаточно. А ведь это только одно последнее, 64-е слагаемое; надо же знать все предыдущие 63 слагаемых, да кроме того эти числа сложить…

Для тех, кто проходил алгебру и знаком с логарифмами и прогрессиями, выполнение этого расчета – правда, лишь приближенное, с точностью до 100000-й доли результата – не составило бы никакого труда. Так как у читателей этой книжки я не могу предполагать таких познаний из алгебры, а с другой стороны, не собираюсь засадить их за многочасовые выкладки, то укажу простой способ получить хотя бы грубо-приблизительное представление об истинных размерах «скромной награды» индусского мудреца.

Продолжив ряд

2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д.

до 10-го члена его, мы получим 1024. Так как мы стремимся только приблизительно определить, как велико последнее слагаемое, то позволительно в числе 1024 откинуть 24 единицы, чтобы получить круглое число 1000. Если первые десять двоек при перемножении дали около 1000, то столько же получится от умножения и следующих 10 двоек, а также дальнейших групп из 10 двоек. Всех множителей-двоек у нас 63, т. е. шесть групп по 10 и еще седьмая группа из трех двоек. Значит, число зерен, причитающееся изобретателю за последнее, 64-е поле шахматной доски должно приблизительно равняться

1000x1000x1000x1000x1000x1000x(2x2x2) = 8000000000000000000.

Восемь триллионов зерен – вот примерная величина последнего слагаемого!

Чтобы вычислить (приблизительно) всю сумму, обратим внимание на поучительную особенность ряда

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т. д.

Легко заметить, что каждое число в нем равно сумме всех предыдущих, увеличенной на 1. Например:

8 = (1+2+4)+1; 16 = (1+2+4+8)+1; 32 = (1+2+4+8+16)+1.

Понятно, что и последнее, 64-е число этого ряда равно сумме 63-х предыдущих + 1. Но мы уже знаем, что это последнее число равно (приблизительно) 8-ми триллионам. Следовательно, сумма всех предыдущих чисел тоже приблизительно равна 8 триллионам, а общее число всех зерен, причитающихся изобретателю, приблизительно равно

16000000000000000000.

Результат этот, однако, заведомо меньше истинного – вспомните, что в каждом из 6 множителей мы откидывали 24 единицы (брали ровно 1000 вместо 1024). Точное вычисление дало бы результат:

18446744073709551515.

Чтобы помочь вам ощутить огромность этого числа, замечу, что в кубическом метре (80-ведерной бочке) помещается 15 миллионов пшеничных зерен. «Скромная награда» должна была поэтому занять объем приблизительно в 12000000000000 кубических метров. Это составляет 12000 кубических километров!

Далее. Поверхность земного шара – всех его материков и океанов – равна 500 биллионам кв. метров. Значит, если рассыпать наше число зерен ровным слоем по всему миру, то слой этот имел бы в толщину 12:500 = 0,024 метра, или примерно 1/4 сантиметра. Будь земной шар целиком превращен в сплошное пшеничное поле (для чего понадобилось бы осушить океаны, растопить полярные льды и оросить все пустыни), то урожай целиком пошел бы в награду изобретателю шахматной игры.

В заключение предлагаю читателю самому вычислить, какая длина получилась бы, если бы все эти зерна выложить в один ряд. На всякий случай сообщаю, что от земли до солнца 150000000 километров, – хотя не думаю, чтобы вам пришлось с такою цепью зерен остаться в пределах солнечной системы.

Глава VII Путешествия по кристаллу и непрерывное черчение

ЗАДАЧИ №№ 61-70

– Чем эта муха на кристалле вас так заинтересовала?

– Своим странным поведением: она ходит по кристаллу, право, не без системы. Посмотрите, все время придерживается она ребер и не ступает по граням. Что за охота ей ходить по гребням, когда рядом сколько угодно плоских мест?

– Мне кажется, дело довольно просто. Чем склеены у вас грани этого кристалла?

– Вы подозреваете, что в клее есть что-то сладкое, привлекающее муху? Кажется, вы правы; она действительно вылизывает хоботком ребра кристалла. Так вот почему она медленно и систематически переходит с одного ребра на другое!

– И при этом на практике разрешает интересную задачу: обойти весь многогранник по его ребрам, не посещая дважды ни одного ребра.

– Разве это возможно?

– В данном случае вполне: ведь этот кристалл – восьмигранник.

– Да, октаэдр. Что же из этого?

– У него на каждой вершине сходятся 4 ребра.

– Разумеется. Но какое же отношение имеет это к нашей задаче?

– Самое непосредственное. Задача обойти все ребра многогранника, и притом не более чем по одному разу, разрешима только для тех многогранников, у которых на каждой вершине сходится четное число ребер.

Рис. 45. Муха на кристалле.

– Вот как! Я об этом не знал. Почему же?

– Почему у каждой вершины должно сходиться именно четное число ребер? Очень просто. Надо ведь на каждую вершину попасть и надо с нее уйти, – значит, нужно, чтобы к ней вела одна дорога и от нее отходила другая, т. е. чтобы у нее сходилась пара ребер. Если же, продолжая путешествовать по кристаллу, вы попадете на ту же вершину вторично, т. е. если к ней ведет еще и третье ребро, то должно иметься непременно и четвертое ребро, чтобы вы могли уйти с этой вершины, а не очутиться в тупике. Другими словами, число ребер, сходящихся у каждой вершины, должно быть парное, т. е. четное. Если хотя бы одна вершина многогранника имеет нечетное число сходящихся к ней ребер, то на такую вершину вы, исчерпав все ведущие к ней парные ребра, можете попасть, конечно, по последнему неиспользованному ребру, – но покинуть этой вершины уже не сможете: путешествие здесь поневоле оборвется.

– Но я могу ведь совсем не воспользоваться этим ребром, раз оно заведомо ведет в тупик!

– Тогда вы не выполните другого условия нашего путешествия: пройти по всем ребрам без исключения.

– Позвольте: но может же случиться, что это ребро как раз последнее и единственное еще не пройденное. Тогда нет вовсе надобности покидать его: оно и будет конечной целью путешествия.

– Совершенно правильно. И если бы в фигуре была только одна «нечетная» вершина, то вам нужно было бы избрать такой маршрут, чтобы вершина эта оказалась последним этапом, – тогда вы разрешили бы задачу успешно. Или же можете начать с этой вершины – тогда вам не придется на нее возвращаться. Я должен только прибавить к этому, что фигуры с одной «нечетной» вершиной существовать не может: таких вершин должно быть четное число – две, четыре, шесть и т. д.

– Это почему же?

– Подумайте о том, что каждое ребро соединяет две вершины. И если какая-нибудь вершина имеет ребро без пары, то ребро это должно упираться в какую-нибудь соседнюю вершину и там тоже быть непарным ребром.

– А если соседняя вершина была бы без этого ребра тоже нечетная? Тогда новое ребро делает ее «четной», и наша «нечетная» вершина остается одинокой.

– Этого не может быть. Если без нашего ребра у соседней вершины сходится нечетное число ребер, то, значит, одно из ее ребер, остающееся вне пары, соединено со следующей вершиной, и следовательно «нечетная» вершина будет найдена дальше, но все же будет существовать. Вы видите, что если в фигуре имеется одна «нечетная» вершина, то непременно должна существовать и вторая. Число «нечетны х» вершин не может быть нечетным. Поясню это еще и иным путем, пожалуй, более простым. Предположите, что вы желаете сосчитать, сколько ребер в какой-нибудь фигуре. Вы считаете ребра, сходящиеся у одной вершины, прибавляете ребра, сходящиеся у второй, потом – у третьей и т. д. Когда вы все это сложите, что у вас получится?

– Двойное число ребер фигуры, потому что каждое ребро считалось по два раза: ведь каждое ребро соединяет две вершины.

– Именно. Вы получите удвоенное число ребер. И если допустить, что у одной из вершин сходится нечетное число ребер, а у всех прочих – четное, то результат сложения будет, конечно, число нечетное. Но может ли удвоен – ное целое число быть нечетным?