Алиса в Стране Смекалки - Рэймонд Смаллиан

— А мне кажется, что они все с подвохом, — призналась Алиса. — Я все еще не понимаю зазеркальную логику!

Если вы, дорогой читатель, дойдя до этого места, признаетесь, что зазеркальная логика остается для вас, как для Алисы, по-прежнему за семью печатями, то я вряд ли смогу поставить вам это в укор. Тем не менее ключ ко всей загадочной истории до смешного прост. Вместо того чтобы приводить решения в конце книги, я предпочел изложить их на этот раз в форме диалога.

Что объяснил Шалтай-Болтай

— А теперь самое время попытаться найти ключ к разгадке всех историй, — сказал Шалтай-Болтай.

— Не имею ни малейшего представления, с чего начать!

— Начнем хотя бы с вопроса, может ли зазеркальный логик быть убежденным в истинности истинного утверждения, — предложил Шалтай-Болтай.

— Как же иначе? — удивилась Алиса.

— А ты помнишь, что я тебе доказывал? — спросил Шалтай-Болтай. — Всякий раз, когда зазеркальный логик в чем-то уверен, он также уверен, что не уверен в этом.

— Еще как помню! — сказала Алиса. — Только забыла, как вы это доказывали. Не могли бы вы повторить доказательство еще раз?

— Сколько угодно! — охотно согласился ШалтайБолтай. — Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. Так как он убежден в истинности этого утверждения, то (по условию 1) он заявляет, что оно истинно. Следовательно (по условию 2), он заявляет также, что не убежден в истинности этого утверждения. В свою очередь (по условию 1) отсюда следует, что он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения.

— Вот теперь я вспомнила! — обрадовалась Алиса.

— Для большей уверенности, что ты больше не забудешь его, попрошу тебя записать мое утверждение в записную книжку под заглавием «Утверждение 1». Так Алиса и сделала. Вот что она записала:

«Утверждение 1. Всякий раз, когда зазеркальный логик убежден в чем-нибудь, он убежден, что не убежден в этом».

— Но это еще не все, — сказал Шалтай-Болтай. — Необходимо также иметь в виду, что если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в его истинности.

— Почему? — спросила Алиса.

— Это легко доказать! — ответил Шалтай-Болтай. — Возьмем любое истинное утверждение. По условию 3 зазеркальный логик заявляет, что убежден в его истинности. Поскольку он заявляет, что убежден в истинности истинного утверждения, то он (по условию 1) честен. Следовательно, он убежден, что убежден в истинности истинного утверждения.

— Понятно! — сказала Алиса.

— Запиши-ка себе все это в записную книжку и озаглавь «Утверждение 2», — предложил ШалтайБолтай. И Алиса записала:

«Утверждение 2. Если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в истинности этого утверждения».

— Теперь ты понимаешь, — спросил ШалтайБолтай, — почему зазеркальный логик не может быть убежденным в истинности истинного утверждения?

— Не совсем, — призналась Алиса.

— Такое заключение нетрудно вывести из утверждения 1, утверждения 2 и условия 4, - сказал ШалтайБолтай. — Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. По утверждению 1 он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения. Но он не может быть одновременно убежденным, что он убежден в истинности этого утверждения (так как по условию 4 он не может быть убежденным в чем-то и одновременно быть убежденным в противоположном). А так как он не убежден, что убежден в истинности утверждения, то оно не может быть истинным, потому что если бы оно было истинным, то по утверждению 2 зазеркальный логик был бы убежден, что убежден в его истинности. Но в действительности он не убежден, что убежден в истинности рассматриваемого утверждения. Следовательно, оно не может быть истинным. Итак, ты видишь, что зазеркальный логик никогда не бывает убежден в истинности любого истинного утверждения. Все утверждения, в истинности которых убежден зазеркальный логик, ложны.

Алисе пришлось изрядно поразмыслить над сказанным.

— Весьма сложное доказательство! — наконец сказала она.

— Ничего, со временем привыкнешь! — заверил ее Шалтай-Болтай.

Алиса поразмыслила еще немного.

— Мне хотелось бы спросить, — обратилась она к Шалтаю-Болтаю, — обязательно ли зазеркальный логик должен быть убежден в истинности всех ложных утверждений или просто он убежден в истинности только ложных утверждений?

— Хороший вопрос, дитя мое! — одобрил ШалтайБолтай. — И ответ на него хороший: «Да». Возьмем любое ложное утверждение. По условию 5 зазеркальный логик либо убежден в истинности этого утверждения, либо убежден в истинности противоположного утверждения. Но в истинности противоположного утверждения он не может быть убежден, так как оно истинно. Следовательно, зазеркальный логик убежден в истинности ложного утверждения.

— Как необычно! — воскликнула Алиса. — Подумать только! Зазеркальный логик убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений!

— Совершенно верно! — сказал Шалтай-Болтай. — И это самое прекрасное в зазеркальной логике! Не могу не отметить еще одну весьма интересную ее особенность, — добавил он. — Всякий, кто убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений и честно выражает свои убеждения, повторяю, всякий, кто придерживается таких убеждений, удовлетворяет пяти основным условиям, характеризующим зазеркальных логиков.

— Почему? — спросила Алиса.

— О, это очень легко доказать! — ответил ШалтайБолтай. — Представим себе абсолютно честного человека, который убежден в истинности тех и только тех утверждений, которые ложны. Так как он честен, то, разумеется, удовлетворяет условию 1. А как обстоит дело с условием 2? Предположим, этот человек заявляет, что некоторое утверждение истинно. Поскольку он честен, этот человек действительно убежден в истинности того утверждения, о котором идет речь. Следовательно, неверно, что он не убежден в истинности утверждения. Вместе с тем этот человек убежден в истинности всего, что ложно, даже если речь идет о ложных представлениях о его собственных убеждениях! Таким образом, неверно, что он не убежден в истинности утверждения, а, так как он убежден в истинности всего, что ложно, он должен быть убежден в ложном факте, состоящем в том, будто он не убежден в истинности утверждения. Иначе говоря, наш честный человек убежден, что он не убежден в истинности утверждения. А так как он убежден, что не убежден в истинности утверждения, то он заявляет, что не убежден в его истинности (напоминаю, что речь идет о честном человеке). Следовательно, наш честный человек удовлетворяет условию 2.

Перейдем теперь к условию 3. Возьмем любое истинное утверждение. Так как оно истинно, то тот. кто убежден в истинности ложных и не убежден в истинности истинных утверждений, не убежден в истинности выбранного нами произвольного истинного утверждения. Так как он не убежден в истинности утверждения, то должен быть убежден, что убежден в его истинности (поскольку все его убеждения правильнее было бы назвать заблуждениями!). А раз он убежден, что убежден в истинности утверждения, он не может не заявить, что убежден в его истинности. Тем самым доказано, что он удовлетворяет условию 3.

— Условия 4 и 5 очевидны, — продолжал Шалтай-Болтай, — Возьмем любое утверждение и противоположное утверждение. Одно из них должно быть истинно, другое ложно. Следовательно, тот, кто убежден в истинности ложных и не убежден в истинности истинных утверждений, убежден в истинности ложного (прямого или противоположного) утверждения и не убежден в истинности истинного. Значит, он не убежден в истинности обоих утверждений (и поэтому удовлетворяет условию 4), но зато убежден в истинности по крайней мере одного из них (и поэтому удовлетворяет условию 5).

— Вот и вся история, — заключил Шалтай-Болтай. — Зазеркальный логик — человек честный, но судит обо всем превратно. И наоборот, всякий, кто и честен, и судит обо всем превратно, удовлетворяет пяти условиям, отличающим зазеркального логика от прочих смертных. Вот тебе ключ к разгадке всех загадок!

— Одно все-таки мне неясно, — сказала Алиса. — Почему зазеркальный логик никогда не высказывает какое-нибудь утверждение и противоположное утверждение и вместе с тем заявляет, что утверждение и противоположное ему оба истинны?

— Что же тут непонятного? Все очень просто, — возразил Шалтай-Болтай. — Взять, например, утверждение о том, что Черный Король спит. Ему противоположно утверждение о том, что Черный Король бодрствует. Ясно, одно из этих утверждений истинно, а другое ложно. Зазеркальный логик убежден в истинности только того утверждения, которое ложно, поэтому он не может быть убежден в истинности прямого и противоположного утверждения в отдельности. Тем не менее отдельно взятое утверждение о том, что Черный Король одновременно и спит, и бодрствует, ложно. Следовательно, зазеркальный логик должен быть убежден в его истинности.