Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Среди выдающихся мыслителей, стоявших у колыбели современной математики и естествознания, Галилео Галилей (1564-1642) занимает столь же почетное место, как и Декарт. Разумеется, Галилей также разделял убеждение, что природа сотворена по математическому плану и что творцом плана был сам господь бог. Широкую известность получил следующий отрывок из небольшого сочинения Галилея «Пробирных дел мастер» (1623): 

Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами, — я разумею Вселенную, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики, и письмена ее — треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески ее слова: без них — тщетное кружение в темном лабиринте.{26}

Итак, природа проста и упорядоченна, и все происходящее в ней закономерно и необходимо. Природа действует в соответствии с совершенными и неизменными математическими законами. Источником всего рационального в природе является божественный разум. Бог вложил в мир строгую математическую необходимость, которую люди постигают лишь с большим трудом, хотя их разум устроен по образу и подобию божественного разума. Следовательно, математическое знание не только представляет собой абсолютную истину, но и священно, как любая строка Священного писания. Исследование природы — занятие столь же благочестивое, как и изучение Библии. «В действиях Природы господь бог является нам не менее достойным восхищения образом, чем в божественных стихах Писания». 

В «Диалоге о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой» (1632) Галилей утверждал, что в математике человек достигает вершины всякого знания, ничуть не уступающего тому знанию, которое является уделом божественного разума. Конечно, божественный разум знает и воспринимает бесконечно больше математических истин, чем человек, но если говорить о достоверности, то те немногие истины, которые доступны человеческому разуму, известны человеку с такой же полнотой, как и богу. 

Хотя Галилей был профессором математики и придворным математиком, его главным вкладом в европейскую культуру стали не математические теоремы, а те многочисленные усовершенствования, которые он внес в научный метод. Наиболее значительным из них явился его отказ от поисков физического объяснения, которое Аристотель считал истинной целью естествознания, и переход к поиску математического описания. Различие между этими двумя принципиальными методологическими установками отчетливо видно на следующем примере. Брошенное тело падает на землю, причем падение происходит со все возрастающей скоростью. Аристотель и следовавшие его методологии средневековые ученые пытались найти причину падения тела, предположительно механическую. Вместо поиска причины Галилей описал свободное падение математическим законом, имеющим в современных обозначениях вид s = 4,9t2, где s — расстояние (в метрах), которое тело в свободном падении пролетает за t секунд. Эта формула ничего не говорит о том, почему тело падает, и, казалось бы, дает гораздо меньше того, что хотелось бы знать о явлении. Но Галилей был уверен, что знание природы, которого мы стремимся достичь, должно быть описательным. В своей книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» Галилей устами своего героя Сальвиати утверждал: 

Сейчас неподходящее время для занятий вопросом о причинах ускорения в естественном движении, по поводу которого различными философами было высказано столько различных мнений: одни приписывали его приближению к центру, другие — постепенному частичному уменьшению сопротивления среды, третьи — некоторому воздействию окружающей среды, которая смыкается позади падающего тела и оказывает на него давление, как бы постоянно его подталкивая; все эти предположения и еще многие другие следовало бы рассмотреть, что, однако, принесло бы мало пользы. Сейчас для нашего автора будет достаточно, если мы рассмотрим, как он исследует и излагает свойства ускоренного движения (какова бы ни была причина ускорения), приняв, что моменты скорости, начиная с перехода от состояния покоя, идут возрастая в том же простейшем отношении, как и время.

([17], с. 243-244.)

Итак, по Галилею, содержательные научные вопросы следовало отделить от поиска «причины причин» и отказаться от чисто умозрительных рассуждений о физических предпосылках явлений. Галилей мог бы сформулировать свою идею в виде следующей максимы для ученых: ваше дело не рассуждать — почему, а устанавливать — сколько (т.е. находить количественные соотношения). 

Весьма вероятно, что первая реакция на этот пункт намеченной Галилеем программы даже в наши дни была бы отрицательной. Описание явлений на языке формул не более чем первый шаг исследования, возразили критики. Истинная функция науки в действительности была осознана последователями Аристотеля и состоит в объяснении причин, по которым происходит явление. Даже Декарт возражал против установки Галилея на поиск описательных формул. «Все, что Галилей говорит о телах, свободно падающих в пространстве, — утверждал Декарт, — лишено всякого основания, так как сначала ему надлежало бы установить природу тяжести». Кроме того, продолжал Декарт, Галилею следовало бы поразмыслить о первопричинах наблюдаемого явления. Но, как мы теперь знаем, принятое Галилеем решение ограничиться описанием явления было наиболее глубоким и наиболее плодотворным новшеством, когда-либо внесенным в методологию естествознания. Как станет ясно из дальнейшего, значение этого нововведения состояло в том, что оно более четко и определенно, чем ранее, поставило естествознание под эгиду математики. 

Еще один методологический принцип, выдвинутый Галилеем, состоял в том, что любая область естествознания должна быть построена по образу и подобию математики. Здесь необходимо выделить два существенных момента. Математика начинает с аксиом, т.е. самоочевидных, ясных истин. Из них с помощью дедуктивного вывода она устанавливает новые истины. Следовательно, любая область естественных наук также должна начинать с аксиом, или принципов, и строиться дедуктивно. Кроме того, из исходных аксиом надлежит извлекать как можно больше следствий. Такой же план, по существу, был предложен еще Аристотелем, видевшим конечную цель в дедуктивной структуре естественных наук, образцом для которых должна служить математика.

Но в том, что касается способа получения первых принципов, Галилей решительно отошел от греков, мыслителей средневековья и Декарта. Предшественники Галилея и Декарт усматривали источник первых принципов в человеческом разуме. Стоит лишь разуму поразмыслить над любым кругом явлений, как он тотчас же постигнет фундаментальные истины. При этом в качестве примера, подтверждающего всесилие человеческого разума, обычно ссылались на математику. Такие аксиомы, как «Если к равным [частям] прибавить равные, то получатся равные же [части]» или «Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну», якобы самопроизвольно возникают, когда мы начинаем размышлять о числах или о фигурах, — и они считались неоспоримыми истинами. Греки  установили несколько физических принципов, которые в их глазах были столь же привлекательными, как математические аксиомы. Так, они считали вполне очевидным, что все тела во Вселенной должны занимать определенное (естественное) место. Не менее очевидным казалось и то, что состояние покоя более согласуется с сутью вещей, чем состояние движения. Не подлежало сомнению и утверждение о том, что, для того чтобы привести тело в состояние движения и далее поддерживать это состояние, к нему необходимо приложить определенную силу. Вера в то, что человеческий разум способен сам по себе выработать фундаментальные принципы, не отрицает пользу наблюдений для установления первых принципов. Но наблюдения как бы помогают разуму припомнить первые принципы, подобно тому как при взгляде на знакомое лицо в памяти всплывают различные сведения о нем. 

Все эти ученые, по мнению Галилея, сначала решали, как должен был бы функционировать мир в соответствии с предустановленными первыми принципами. Галилей же считал, что в физике в отличие от математики источником первых принципов должны быть эксперимент и анализ его результатов. Чтобы получать правильные и фундаментальные первые принципы, физику надлежит с большим вниманием прислушиваться к голосу природы, а не к тому, чему отдает предпочтение разум. Галилей открыто критиковал естествоиспытателей и философов, принимавших те или иные «законы» только потому, что те согласовывались с их априорными представлениями относительно того, как должна была бы вести себя природа. Природа, утверждал Галилей, не сотворила сначала мозг человека, а затем мир так, чтобы он был воспринимаем человеческим разумом. В адрес средневековых схоластов, вторивших Аристотелю и занимавшихся толкованием различных суждений в его сочинениях, Галилей язвительно заметил, что знание берется из наблюдений, а не из книг. Бесполезно спорить об Аристотеле. Те, кого он называл бумажными учеными, хотели бы уподобить естественнонаучные исследования изучению «Энеиды» или «Одиссеи» и превратить науку о природе в свод текстов. «Перед законом природы бессильны любые авторитеты».