8. Квантовая механика I - Ричард Фейнман

Под А мы подразумеваем любое сложное расположение прибо­ров Штерна — Герлаха — с перегородками и полуперегород­ками, под всевозможными углами, с необычными электрически­ми и магнитными полями,— словом, годится все, что вам придет в голову. (Очень приятно ставить мысленные эксперименты — тогда нас не тревожат никакие заботы, возникающие при реаль­ном сооружении приборов!) Задача состоит в следующем: с какой амплитудой частица, входящая в область A в состоянии (+S), выйдет из него в состоянии (0R), так что сможет пройти через последний фильтр R? Имеется стандартное обозначение для такой амплитуды:

<0R|A|+S>.

Как обычно, это надо читать справа налево: < Конец | Через | Начало>.

Если случайно окажется, это А ничего не меняет, а просто яв­ляется открытым каналом, тогда мы пишем

<0R |1|+S>=<0R|+S>; (3.29)

эти два символа равнозначны. В более общих задачах мы можем заменить (+S) общим начальным состоянием j, а (0R) — об­щим конечным состоянием c и захотеть узнать амплитуду

<c|A|j>.

Полный анализ прибора А должен был бы дать нам амплитуду <c|А|j> для каждой мыслимой пары состояний j и c — бес­конечное количество комбинаций! Как же сможем мы тогда дать краткое описание поведения прибора А?Это можно сде­лать следующим путем. Вообразим, что мы видоизменили прибор (3.28) так:

На самом деле это вовсе не видоизменение, потому что широко раскрытые приборы Т ничего нигде не меняют. Но они подска­зывают нам, как проанализировать проблему. Имеется опре­деленная совокупность амплитуд <i|+S> того, что атомы из S перейдут в состояние i прибора Т. Затем имеется другая совокупность амплитуд того, что состояние i (по отношению к Т), войдя в А, выйдет оттуда в виде состояния j (по отношению к Т). И наконец, имеется амплитуда того, что каждое состоя­ние j пройдет через последний фильтр в виде состояния (0R). Для каждого допустимого пути существует амплитуда вида

<0R|j><j|A|i><i|+S>,

и полная амплитуда есть сумма членов, которые можно полу­чить из всех сочетаний i и j. Нужная нам амплитуда равна

Если (О Л) и (+S) заменить общими состояниями c и j, то полу­чится выражение такого же рода; так что общий результат выглядит так:

Теперь заметьте, что правая часть (3.32) на самом деле «проще» левой части. Прибор А полностью описан девятью числами <j|А|i>, сообщающими, каков отклик А на три базисных состояния прибора Т. Как только мы узнаем эту де­вятку чисел, мы сможем управиться с любой парой входных и выходных состояний j и c, если только определим каждое из них через три амплитуды перехода в каждое из трех базисных состояний (или выхода из них). Результат опыта предсказы­вается с помощью уравнения (3.32).

В этом и состоит основной вывод квантовой механики частицы со спином 1. Каждое состояние описывается тройкой чисел — амплитудами пребывания в каждом из базисных состояний (из избранной их совокупности). Всякий прибор описывается де­вяткой чисел — амплитудами перехода в приборе из одного ба­зисного состояния в другое. Зная эти числа, можно подсчитать что угодно.

Девятка амплитуд, описывающая прибор, часто изобра­жается в виде квадратной матрицы, именуемой матрицей

<j|A|i>:

Вся математика квантовой механики является простым расши­рением этой идеи. Приведем несложный пример. Пусть име­ется прибор С, который мы хотим проанализировать, т. е. рассчитать различные <j|С|i>. Скажем, мы хотим знать, что случится в эксперименте типа

Но затем мы замечаем, что С просто состоит из двух частей: стоящих друг за другом приборов А и В. Сперва частицы про­ходят через А, а потом — через B, т. е. можно символически записать

Мы можем прибор С назвать «произведением» А и В. Допустим также, что мы уже знаем, как эти две части анализировать; таким образом, мы можем узнать матрицы А и В (по отношению к Т). Тогда наша задача решена. Мы легко найдем <c|С|j> для любых входных и выходных состояний. Сперва мы напишем

Понимаете, почему? (Подсказка: представьте, что между А к В поставлен прибор Т.) Если мы затем рассмотрим особый случай, когда j и c также базисные состояния (прибора Т), скажем i и j, то получим

Это уравнение дает нам матрицу прибора «произведения» С через матрицы приборов А и В. Математики именуют новую матрицу <j|С|i>, образованную из двух матриц <j|В|i> и <j|А|i> в соответствии с правилом, указанным в (3.36), матричным «произведением» ВА двух матриц В и А. (Заметьте, что порядок существен, АВ№ВА.) Итак, можно сказать, что матрица для стоящих друг за другом двух частей прибора — это матричное произведение матриц для этих двух приборов порознь (причем первый прибор стоит в произведении справа). И каждый, кто знает матричную алгебру, поймет, что речь идет просто об уравнении (3.36).

§ 7. Преобразование к другому базису

Мы хотим сделать одно заключительное замечание относи­тельно базисных состояний, используемых в расчетах. Предпо­ложим, мы захотели работать с каким-то определенным базисом, скажем с базисом S, а кто-то другой решает провести те же расчеты с другим базисом, скажем с базисом Т.

Для конкретности назовем наши базисные состояния состоя­ниями (iS), где i= +, 0, -, а его базисные состояния назовем (jT). Как сравнить его работу с нашей? Окончательные ответы для результатов любых измерений обязаны оказаться одинако­выми, но употребляемые в самих расчетах всевозможные мат­рицы и амплитуды будут другими.

Как же они соотносятся? К примеру, если оба мы начи­наем с одного и того же j, то мы опишем это j на языке трех амплитуд <iS|j> — амплитуд того, что j переходит в наши базисные состояния в представлении S, а он опишет это j ам­плитудами <jТ|j> — амплитудами того, что состояние j переходит в базисные состояния в его, Т, представлении. Как проверить, что мы оба на самом деле говорим об одном и том же состоянии j? Это можно сделать с помощью нашего общего пра­вила II [см. (3.27)]. Заменяя c любым из его состояний jT, напишем

Чтобы связать оба. представления, нужно задать только девять комплексных чисел — матрицу <jT|iS>, Эту матрицу затем можно использовать для того, чтобы перевести все его урав­нения в нашу форму. Она сообщает нам, как преобразовать одну совокупность базисных состояний в другую. (По этой причине <jT|iS>иногда именуют «матрицей преобразования от представления S к представлению T». Слова ученые!)

Для случая частиц со спином 1, у которых бывает только тройка базисных состояний (у высших спинов их больше), математическая ситуация напоминает то, что мы видели в век­торной алгебре. Каждый вектор может быть представлен тремя числами — компонентами вдоль осей х, у и z. Иначе говоря, всякий вектор может быть разложен на три «базисных» вектора, т. е. векторы вдоль этих трех осей. Но предположим, что кто-то другой решает выбрать другую тройку осей: x', y' и z'. Чтобы представить любой частный вектор, он воспользуется другими (а не теми, что мы) числами. Его выкладки не будут похожи на наши, но окончательный итог окажется таким же. Мы это уже рассматривали раньше и знаем правила преобразования векто­ров от одной тройки осей к другой.

Вам может захотеться увидать, как действуют квантовомеханические преобразования, и самим попробовать их проде­лать; для этого мы приведем здесь без вывода матрицы преобра­зований амплитуд спина 1 от представления S к другому пред­ставлению Т для разных взаимных ориентации фильтров S и Т. (В следующих главах мы покажем, как получаются эти результаты.)