Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

109. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений, — М.: Наука, 1978.

110. Харди Г.X. Курс чистой математики. — М.: ИЛ, 1949.

111. Ли Ч. Введение в популяционную генетику. — М.: Мир, 1978.

112. Бэрликэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. — М.: Мир, 1971; Касами Т. и др. Теория кодирования. — М.: Мир, 1978; Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. — М.: Мир, 1976; Мак Вильямс Ф., Слоэн Н.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. — М.: Связь, 1979.

113. Livinson N. Coding theory: a counter-example to G.H. Hardy's conception of applied mathematics. — American Math. Monthly, v. 77, 1970, №3, p. 249-258.

114. Минеев В.П. Топологические объекты в нематических жидких кристаллах. Приложение к кн.: Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982, с. 148-158; Воловик Г.Е., Минеев В.П. Физика и топология. — М.: Знание, 1980. 

115. Дьедонне Ж. Современное развитие математики. — Сб. переводов «Математика», 1966, т. 10, №3, с. 3-11. 

116. Дайсон Ф. Дж. Упущенные возможности. — Успехи математических наук, 1980, т. 35, №1 (211), с. 171-183 (и комментарии переводчика: с. 183-191). 

117. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. т. 1. — M. — Л.: ОНТИ, 1935. 

118. Курант Р., Робинсон Г. Что таксе математика? — М.: Просвещение, 1967. 

119. Ларошфуко Ф. де. Максимы. Паскаль Б. Мысли. Лабрюйер Ж. де. Характеры. — М.: Художественная литература, 1974. 

120. Popper K.R. The Logic of Scientific Discovery. — London, 1959. (Неполный русский перевод в кн.: Попер К. Логика и рост научного знания. — M.: Прогресс, 1983, с. 33-235. 

121. Weyl H. Gruppentheorie und Quantenmechanik. — Leipzig: Leubner, 1928. (Существуют более поздние издания и переводы на другие языки.) 

122. Weyl H. Raut, Zeit, Materie. — Berlin: Springer, 1918. (Существуют более поздние издания и переводы на другие языки.) 

123. Бергман П. Единые теории поля. — УФН, т. 132, вып. 1, 1980, с. 177-190.

124. Яглом И.М. Герман Вейль. — М.: Знание, 1967. 

125. Карри X.Б. Основания математической логики. — М.: Мир, 1969. 

126. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1965 (т. 1), 1966 (т. 2), 1967 (т. 4). 

127. Борн М. Эйнштейновская теория относительности. — М.: Мир, 1964.

128. Эйнштейн А. Основы общей теории относительности. — В кн.: [126], т. 1 с. 452-504. [См. также: Лоренц Г. и др. Принцип Л.: ОНТИ, 1935, с. 231-305.] 

129. Дайсон Ф. Будущее воли и будущее судьбы. — Природа, 1982, №8, с. 60-70. 

130. Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. — М.: Наука, 1980.

131. Тутубалин В.Н. Границы применимости (вероятностно-статистические методы и их возможности). — М.: Знание, 1977.

132. Шредингер Э. Что такое жизнь с точки зрения физики? — М.: ИЛ, 1947.

133. Вигнер Ю. Этюды о симметрии. — М.: Мир, 1971.

134. Дайсон Ф. Математика и физика. — УФН, т. 85, вып. 2, 1965, с. 351-364; Математика в физических науках. — В кн. [137], с. 110-127.

135. Вайнберг С. Первые три минуты. — М.: Энергоиздат, 1981; Силк Дж. Большой взрыв. — М.: Мир, 1982; Фундаментальная структура материи (под ред. Дж. Малви). — М.: Мир, 1984.

136. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б. Вещество и антивещество во Вселенной. — Природа, 1982, №8, с. 33-45.

137. Математика в современном мире. — М.: Мир, 1967.

138. Клайн М. Логика против педагогики. — В кн.: Математика (проблемы преподавания математики в вузах), вып. 3. — М.: Высшая школа, 1973.

139. Ньютон И. Всеобщая арифметика. — М. — Л.: Ростехиздат, 1948.

140. Ньютон И. Математические работы. — М. — Л.: ОНТИ, 1934.

141. Лейбниц Г.В. Избранные отрывки из математических сочинений. — УФН. 1948, т. 3, вып. 1(23), с. 165-204.

Примечания

1

Ныне этот журнал переводится на русский язык и публикуется издательством «Мир» под названием «В мире науки».

2

Здесь и далее ссылки на литературу, помеченные звездочкой, относятся к авторскому списку «Избранная литература».

3

Перечисляя книги Клайна, я обхожу здесь вниманием пользующиеся (возможно, даже чрезмерно громкой) известностью его недавние сочинения «Как складывает Джонни» и «Как учит учитель», содержащие острую критику современной реформы преподавания математики в средней школе и написанные с присущими этому автору темпераментом и полемическим задором (см. также переведенную ранее на русский язык интересную, но, пожалуй, чрезмерно заостренную статью [138]).

4

Трудно не процитировать здесь столь почитаемого Клайном Германа Вейля: «…Процесс познания начинается, так сказать, с середины и далее развивается не только по восходящей, но и по нисходящей линии, теряясь в неизвестности. Наша задача заключается в том, чтобы постараться в обоих направлениях пробиться сквозь туман неведомого, хотя, конечно, представление о том, что колоссальный слон науки, несущий на себе груз истины, стоит на каком-то абсолютном фундаменте, до которого человек может докопаться, является не более чем легендой» (из статьи «Феликс Клейн и его место в математической современности»; Felix Klein. Stellung in der mathematischen Gegenwart. Die Naturwissenschaften, Bd 18, 1930, S. 4-11; Gesammelte Abhandlungen, Bd, 3. — Berlin: Springer-Verlag, 1968, S. 292-299).

5

Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983, с. 294.

6

Относящийся к нашему времени выразительный пример подобного отношения к математике приводит в своей статье «Эйнштейн и физика второй половины XX века» [60] выдающийся современный физик, лауреат Нобелевской премии Ч. Янг (Ян Чжэиьнин). Он рассказывает, как, придя к своему старому учителю Чжень Шеншеню, ныне профессору Калифорнийского университета в Беркли и одному из крупнейших современных геометров, он выразил удивление тем, как быстро понадобились физикам идущие в значительной степени от Чженя так называемые связности на расслоениях, придуманные математиками вне всякой связи с физической реальностью. На это Чжень ответил ему: «Но ведь никак нельзя сказать, что это мы, математики, выдумали связности на расслоениях — ясно, что они существовали и до нас».

7

С этой точки зрения характерно, что Предложение 1 евклидовых «Начал» содержит построение равностороннего треугольника, что единственно оправдывает данное несколько ранее определение такого треугольника (ср. [25], с. 13, 15-16).

8

Так, например, еще Платон весьма высоко ценил логический метод «доказательства от противного», при котором установление истинности предложения p начинается с предпосылки «пусть p неверно», и из этой предпосылки выводится противоречие [так, пифагорейское доказательство иррациональности √2 (в наших обозначениях) начинается с утверждения: «Пусть √2 = m/n — рационально…»]. Общую форму этому методу придал, как будто, основатель так называемой элейской школы в древнегреческой философии Парменид (V в. до н.э.), глубоко почитавшийся Платоном (ему посвящен диалог Платона «Парменид»).

9

Укажем, однако, что статут «временно поселившихся лиц», или метеков, имели в Афинах периода их расцвета и многие выдающиеся ученые — назовем хотя бы имена Аристотеля из Стагира, Евдокса Родосского, Демокрита Абдерского, Гиппократа Хиосского (математик) или Гиппократа Косского (врач).

10

Во всяком случае, Архимед был тесно связан с александрийскими учеными, в частности, хорошо известна его дружба (и переписка) с Эратосфеном.

11

От греческого слова μεγιση — величайший; это название хорошо характеризует отношение арабских ученых к замечательному произведению Птолемея.

12

Возможно, что вариант «Катоптрики», которым мы располагаем сегодня, в действительности представляет собой компиляцию работ нескольких авторов, в том числе и Евклида.

13

В 529 г. византийский император Юстиниан приказал закрыть, как языческую, платоновскую Академию, существовавшую около 800 лет.

14

Подробнее о достижениях арабских и индийских математиков рассказывается в гл. V.

15

Аристотель, c его чисто умозрительным подходом к физическим задачам, склонен был считать, что тяжелое тело, брошенное под углом к земной поверхности, движется по «простейшим линиям», т.е. описывает отрезок прямой, переходящий затем в дугу окружности; ясно, что столь грубое приближение к реальности никак не могло быть достаточным для артиллерийской практики.

16

Позицию Аристарха в этом вопросе разделял и столь глубоко ценимый всеми учеными эпохи Возрождения Архимед Сиракузский.

17

Имеются в виду так называемые платоновы тела — правильные тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. — Ред.

18

В то время как математика и философия древних греков были метафизичны — они ограничивались рассмотрением застывших состояний и игнорировали (текущие) процессы, — картезианская философия (этот термин идет от латинизированной формы фамилии Декарта — Картезий) была диалектична, что и сделало возможным возникновение дифференциального и интегрального исчислений.