Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - Энрике Грасиан

На горизонтальной оси откладывается время, на вертикальной — скорость. Неравномерное движение описывается, например, уравнением v = 2t. Это означает, что с течением времени скорость возрастает: по прошествии одной секунды она равна 2, по прошествии двух секунд — 4 и т. д. Если в треугольнике АВС сторона АВ представляет пройденное время, сторона ВС — скорость, то пройденный путь будет равняться площади треугольника АВС. Галилея интересовало применение этого метода к более сложным разновидностям движения, например по параболической траектории, при этом неизбежно требовалось рассматривать кривые линии и площади фигур, ограниченных ими. В своих расчетах он использовал методы, схожие с методами Кеплера. Однако, как вы увидите чуть позже, его ученик Кавальери первым сформулировал рациональный метод для вычисления площадей подобных фигур.

Как мы уже говорили, Галилей неизбежно должен был столкнуться с парадоксами бесконечности и изучить ее природу. Именно так он пришел к парадоксу, который не смог разрешить. С формальной точки зрения эта задача даже не была парадоксом, но она содержала, как вы убедитесь чуть позже, возможное математическое определение бесконечности.

Эта задача-парадокс, которая впервые упоминается в диалогах Галилея в 1638 году, звучит так.

Рассмотрим в качестве исходного множества ряд чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

Далее запишем ряд чисел, которые являются их квадратами:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100….

Очевидно, что оба этих множества бесконечны в том смысле, что мы можем неограниченно добавлять к ним все новые и новые числа. Кроме того, Галилей заметил, что каждому элементу первого множества соответствует один из элементов второго, но, с другой стороны, кажется очевидным, что в первом множестве больше чисел, чем во втором. Вопрос, который поставил Галилей, заключается в том, какая бесконечность больше, первая или вторая, что ведет к кажущемуся парадоксу. Он полагал, что либо в чем-то ошибался, либо сравнения, основанные на понятиях «больше», «меньше» и «равно», неприменимы, когда речь идет о бесконечности. В этом смысле он был прав, поскольку, как три столетия спустя доказал Георг Кантор, «арифметика бесконечного отлична от арифметики конечного».

Кавальери

Бонавентура Кавальери (1598–1647), иезуит и преподаватель математики в Болонье, был одним из учеников Галилея и больше всего интересовался вычислениями площадей и объемов. В 1635 году он опубликовал трактат на эту тему, озаглавленный «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного».

Название говорит само за себя: с одной стороны, Кавальери был сторонником принципа непрерывности, с другой — он был готов считать, что непрерывные объекты можно разделить на элементарные части — монады, подобные атомам, которые далее нельзя разделить на более мелкие части. Он полагал, что прямая состоит из точек, подобно тому, как ожерелье состоит из бусинок, а объемное тело — из плоскостей, точно так же, как книга — из страниц. Иными словами, неделимыми для прямой являются точки, неделимыми для плоскости — прямые, равноудаленные между собой, неделимыми для твердого тела — множество параллельных плоскостей, удаленных друг от друга на равное расстояние. Кавальери понимал, что число этих неделимых должно было быть бесконечным, но деликатно обходил этот вопрос. Более того, свой метод он назвал методом бесконечных, но работу озаглавил «Трактат о неделимых».

* * *

ТЕОРЕМА КАВАЛЬЕРИ

Метод, использованный Кавальери для вычисления объемов, можно наглядно объяснить так: представьте, что перед вами — две стопки монет или фишек казино одинаковой высоты. Сдвинем монеты во второй стопке так, что она перестанет иметь форму цилиндра. Вычислить объем полученной фигуры будет достаточно сложно. Тем не менее теорема Кавальери гласит, что объем обеих стопок одинаков. В этом примере каждая монета представляет собой неделимое.

По теореме Кавальери, объем обеих стопок монет одинаков, хотя в одном случае они уложены идеально ровно, в другом — нет.

* * *

Принцип Кавальери в современном виде формулируется так: если два тела имеют одинаковую высоту и площади их плоских сечений, взятых на одной высоте, равны, то объемы этих тел одинаковы.

С помощью этого метода Кавальери доказал, что объем конуса равен 1/3 объема описанного вокруг него цилиндра. Не стоит и говорить, что его подход вызвал жестокую критику современников, на которую ученый не мог возразить, поскольку не мог представить достаточное математическое обоснование своих рассуждений. В защиту Кавальери следует сказать, что он не стремился создать строгий метод, а всего лишь хотел разработать алгоритм, применимый на практике. И ему это удалось: метод Кавальери с успехом использовали такие математики, как Ферма, Паскаль и Роберваль. Особенно значительных результатов достиг последний, вычислив площадь, ограниченную дугой циклоиды.

Декарт

Рене Декарт (1596–1650) является основателем и главным представителем рационализма. Наиболее важной его работой было «Рассуждение о методе», а ключевой фразой — «Я мыслю, следовательно, я существую», которая, по его мнению, была единственно возможной отправной точкой на пути преодоления сомнений. Его метод, как следует из названия, представляет собой множество правил, которые позволяют строить адекватные рассуждения в любой области человеческой мысли. Нет сомнений, что Декарт был прежде всего философом, а не математиком, и полученные им математические результаты можно считать следствием использования его метода.

В настоящее время науки отделены от философии, но это не означает, что философия не оказывает на них никакого влияния — мы просто меньше осознаем их взаимосвязь.

Основные результаты Декарта, полученные им помимо других важных открытий, в частности классификации кривых и работ по коническим сечениям, изложены в труде «Геометрия». Декарт считал, что решение геометрических задач часто требует излишних умственных усилий, направленных на то, чтобы мысленно представить расположение фигур. Он создал систему, в которой фигуры представлялись как множество точек, каждой из которых можно было поставить в соответствие числа. Таким образом, геометрическая задача сводилась к алгебраической, а многие алгебраические задачи стало возможно решить геометрическими методами. Говорить о том, что в его работах заложены основы аналитической геометрии, было бы преувеличением, однако можно с абсолютной уверенностью утверждать, что в них была впервые описана декартова геометрия.

Декарт рассмотрел бесконечность в работе «Первоначала философии», в которой он говорил не о бесконечном, а о неопределенном. Он признавал существование бесконечно большого, заявляя, что число звезд на небе не определено, и существование бесконечно малого, говоря, что материя бесконечно делима. Эта подмена понятий была умышленной, и Декарт оправдывал ее тем, что слово «бесконечность» должно использоваться только применительно к Богу. Ученый принимал возможность того, что нечто бесконечное может иметь предел, недостижимый для нас. Таким образом, по мнению Декарта, невозможность существования актуальной бесконечности вызвана особенностями человеческой природы со всеми сопутствующими ограничениями, что не помешало ученому согласиться с существованием потенциальной бесконечности, так как, по его мнению, нельзя размышлять о конечном, если не существует бесконечного. «Невозможно, чтобы моя природа была такой, какая она есть, то есть конечной и содержащей представления о бесконечности, если бы бесконечности не существовало. Идея о Боге подобна отпечатку, который мастер ставит на своей работе, и ни в коей мере не требуется, чтобы этот отпечаток был чем-то, не принадлежащим работе мастера», — заключает Декарт, считавший наши представления о бесконечности врожденными.

* * *

ОПАСНЫЕ ЧАСТНЫЕ УРОКИ

В 1649 году королева Кристина пригласила Декарта в Швецию: она хотела учиться у него философии. Декарт воспользовался возможностью покинуть среду, где философские споры с голландскими протестантами постепенно становились все более и более ожесточенными.

По легенде, королева любила прохладу, и аудиенции обычно проходили в залах с открытыми окнами, из-за чего длились очень недолго. Декарт счел себя обязанным давать королеве уроки в таких же условиях. Кроме того, по привычке он начинал занятия очень рано: экипаж забирал его в половине пятого утра, занятия начинались спустя полчаса. Пять месяцев спустя Декарт заболел пневмонией и 11 февраля 1650 года умер.