Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Некоторые школы пытались заточить математику в стенах логики. Но интуиция не терпит никаких посягательств на свою свободу. Представление о математике как о своде абсолютно надежных, бесспорных и неопровержимых истин, имеющих под собой прочное основание, разумеется, восходит к классическому периоду, воплощенному в «Началах» Евклида. Греческий идеал довлел над мышлением математиков более двадцати столетий. Но «злой гений» Евклид явно сбил математиков с истинного пути.

В действительности математик не полагается на строгое доказательство до такой степени, как обычно считают. Его творения обретают для него смысл до всякой формализации, и именно этот смысл сам по себе придает реальность. Попытки установить точные границы результата путем вывода его из системы аксиом могут оказаться в известной степени полезными, но, по существу, они довольно слабо влияют на значение результата.

Интуиция может оказаться более удовлетворительной и вселять большую уверенность, чем логика. Когда математик спрашивает себя, почему верен тот или иной результат, он ищет ответа в интуитивном понимании. Строгое доказательство ничего не значит для математика, если результат ему непонятен интуитивно. Обнаружив непонимание, математик подвергает доказательство тщательнейшему критическому пересмотру. Если доказательство покажется ему правильным, то он приложит все силы, чтобы понять, почему интуиция подвела его. Математик жаждет понять внутреннюю причину, по которой успешно срабатывает цепочка силлогизмов. Пуанкаре сказал однажды: «Когда довольно длинное рассуждение приводит нас к простому и неожиданному результату, мы не успокаиваемся до тех пор, пока нам не удается показать, что полученный результат — если не целиком, то по крайней мере в общих чертах — можно было предвидеть заранее».

Многие математики предпочитали полагаться на интуицию. Артур Шопенгауэр объяснил это так: «Чтобы усовершенствовать метод в математике, необходимо прежде всего решительно отказаться от предрассудка — веры в то, будто доказанная истина превыше интуитивного знания». Паскалю принадлежат два выражения — esprit de géométrie [дух геометрии] и esprit de finesse [дух проницательности]. Под первым Паскаль понимал силу и прямоту ума, проявляющиеся в железной логике рассуждений.{165} Под вторым — широту ума, способность видеть глубже и прозревать истину как бы в озарении. Для Паскаля даже в науке esprit de finesse был уровнем мышления, стоящим неизмеримо выше (и вне) логики и несоизмеримым с ней. То, что непостижимо для разума, считал Паскаль, может тем не менее быть истиной.

Задолго до Паскаля другие математики также утверждали, что интуитивное убеждение превосходит логику подобно тому, как ослепительный блеск Солнца затмевает бледное сияние Луны. Декарт полагался на врожденные интуитивные представления. По поводу логики Декарт заметил: «Я обнаружил, что силлогизмы и большинство посылок логики более пригодны, когда речь идет о вещах уже известных, или о вещах, в которых говорящий несведущ». Тем не менее Декарт охотно дополнял интуицию дедуктивными рассуждениями (гл. II).

Великие математики заранее, еще до того, как им удавалось найти логическое доказательство, знали, что какая-то теорема верна, и иногда ограничивались всего лишь беглым наброском доказательства. Более того, Ферма в своей обширной классической работе по теории чисел и Ньютон в работе по кривым третьего порядка не привели даже набросков доказательств. Прогрессу математики, несомненно, способствовали главным образом люди, наделенные не столько способностью проводить строгие доказательства, сколько необычайно сильной интуицией.

Итак, понятие доказательства, сколь ни преувеличивали его значение общественное мнение и публикации математиков, не играло той роли, которая ему обычно отводилась. Возникновение противоборствующих философий математики, каждая из которых отстаивала свои мерки строгости доказательства, вызывало скептическую переоценку важности доказательства. Критические нападки на понятие доказательства начались еще до того, как успели сформироваться различные течения в основаниях математики и их взаимно исключающие точки зрения получили сколько-нибудь широкое распространение. Еще в 1928 г. Годфри Гарольд Харди утверждал с присущей ему прямотой:

Строго говоря, того, что принято называть математическим доказательством, не существует… В конечном счете мы можем лишь указывать… Любое доказательство представляет собой то, что мы с Литтлвудом называем газом, — риторические завитушки, предназначенные для психологического воздействия, картинки, рисуемые на доске во время лекции, средство для стимуляции воображения учащихся.

Харди считал доказательства скорее фасадом, чем несущими опорами здания математики.

В 1944 г. выдающийся американский математик Рэймонд Луис Уайлдер выступил с вполне обоснованной статьей [98]*, в которой низвел доказательство на еще более низкую ступень. Доказательство, утверждал Уайлдер, есть не что иное, как

проверка продуктов нашей интуиции… Совершенно ясно, что мы не обладали и, по-видимому, никогда не будем обладать критерием доказательства, не зависящим ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий, будь то отдельное лицо или школа мышления, в этих условиях самое разумное, пожалуй, призвать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства, хотя широкая публика убеждена в обратном.

Ценность доказательства, как такового, подверг критике Уайтхед в своей лекции под названием «Бессмертие»:

Резюмируя, можно сказать, что логика, понимаемая как адекватный анализ процесса человеческого мышления, есть не более чем — обман. Логика — превосходный инструмент, но ей необходим в качестве основы здравый смысл… По моему убеждению, окончательный вид, принимаемый философской мыслью, не может опираться на точные утверждения, составляющие основу специальных наук. Точность иллюзорна.

Доказательство, абсолютная строгость и тому подобные понятия — блуждающие огоньки, химеры, «не имеющие пристанища в математическом мире». Строгого определения строгости не существует. Доказательство считается приемлемым, если оно получает одобрение ведущих специалистов своего времени или строится на принципах, которые модно использовать в данный момент.{166} Никакого общепризнанного критерия строгости в современной математике не существует. Математическая строгость переживает сейчас не лучшее время. То, что некогда считалось неотъемлемой особенностью математики — неоспоримый вывод из явно сформулированных аксиом, — навсегда отошло в прошлое. Неопределенность и способность впадать в ошибку присущи логике в той мере, в какой они ограничивают возможности человеческого разума. Приходится лишь удивляться, сколько фундаментальных допущений мы обычно принимаем в математике, даже не сознавая этого.

Философ Ницше как-то раз назвал шутки «эпитафиями эмоциям». Чтобы хоть как-то скрыть охватившее их уныние, математики принялись подшучивать над логикой своей науки: «Достоинство логического доказательства состоит не в том, что оно вселяет веру, а в том, что оно заставляет сомневаться относительно того, какое место в рассуждениях должно вызывать у нас особенно сильные сомнения… К математическому доказательству относись не только с почтением, но и с подозрением!.. Мы не можем более надеяться, что нам удастся быть логичными. Будем же по крайней мере надеяться, что нам удастся не быть нелогичными… Больше страстности — меньше ясности». Математик Анри Леон Лебег, стоявший на позициях интуиционизма, заявил в 1928 г.: «Логика может заставить нас отвергнуть некоторые доказательства, но она не в силах заставить нас поверить ни в одно доказательство». В статье 1941 г. Лебег добавил, что логика служит не для того, чтобы убеждать, создавать уверенность. Мы верим в то, что согласуется с нашей интуицией. Лебег утверждал, что, по мере того как мы становимся все более сведущими в математике, наша интуиция становится все более изощренной.

Даже Бертран Рассел с его сугубо логистической программой не мог удержаться от язвительных замечаний в адрес логики. В «Принципах математики» (1903) Рассел писал: «Одно из главных достоинств присущих доказательствам, состоит в том, что они пробуждают определенный скептицизм по отношению к доказанному результату». В том же издании «Принципов» он утверждал, что, как явствует из самой попытки положить в основу математики систему неопределяемых понятий и исходных утверждений, любой результат вполне может быть опровергнут (для этого достаточно, чтобы кому-нибудь удалось обнаружить противоречие в нашей формально-логической системе), но никогда не может быть доказан. Все в конечном счете зависит от непосредственного восприятия. Чуть позже (1906) Рассел, встревоженный обнаруженными тогда парадоксами, высказался более откровенно, чем имел обыкновение высказываться в последующие годы. Когда антиномии показали, что логическое доказательство на существовавшем тогда уровне строгости небезупречно, Рассел заявил: «Элемент неопределенности должен оставаться всегда, подобно тому как он неизбежно остается в астрономии. Со временем он может существенно уменьшиться, но смертным свойственно ошибаться».