Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали п1/xy часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал n − 1 ч, второй n − 2, а (n − 1)−й работал один час. Учитывая все это, получим уравнение

n − 1/x + n − 2/x + ... + 1/x + n1/xy = 1,

или

n − 1/2n + ny = x.

Так как x = 24n, то из этого уравнения можно выразить y через n:

y = 24 − n − 1/2.

Наконец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения

(n + y − 7)(n − 5)1/x = 1.

Подставляя вместо x и y их выражения через n, придем к квадратному уравнению

( n + 17 − n − 1/2)(n − 5) = 242n,

т. е. n² − 18n − 175 = 0.

Решая это уравнение, найдем n1 = 25, n2 = −7. Второй корень не имеет смысла.

Ответ. 25.

19.14. Пусть братьям a, aq и aq² лет. Тогда они получат соответственно x, xq и xq² p.

Через 3 года им будет a + 3, aq + 3 и aq² + 3 лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:

aq² + 3 = 2(a + 3).  (1)

При дележе через 3 года младший брат получит x + 105, средний xq + 15. Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы:

x + xq + xq² − (x + 105) − (xq + 15) = xq² − 120.

Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения:

Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:

2(x + 105) = xq² − 120,

т. е.

x(q² − 2) = 330. (3)

Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки a, то

a(q² − 2) = 3.   (1′)

Сравним с уравнением (3):

x = 110a.

Первое из уравнений (2) можно переписать так:

(110a + 105)(aq + 3) = (110aq + 15)(a + 3), т. е. 5aq − 7a = 6.

Решим его совместно с уравнением (1′):

Из первого уравнения а = 6/5q − 7. Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение

6q² − 15q + 9 = 0,

откуда q1 = 3/2 , q2 = 1.

Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через 3 года стать вдвое старше другого.

Ответ. 12, 18, 27.

19.15. Пусть а, b, с и а², b², с². Другими словами, 2b = а + с и b4 = а²с². Если первое уравнение возвести в квадрат

4b² = а² + 2aс + с²,

а второе записать в виде b² = |ac|, то, сравнивая левые части этих равенств, найдем

а² + 2aс + с² = 4|ac|.

Если а и с одного знака, получаем уравнение

а² − 2aс + с² = 0,    т. е.    (а − с)² = 0,

откуда а = с. Следовательно, а² = с² и знаменатель прогрессии а², b², с² равен 1. Если а и с разных знаков, получаем уравнение

а² + 6ас + с² = 0.

Разделим на а² (по условию а ≠ 0) и решим уравнение

(c/a)² + 6c/a + 1 = о

относительно c/a:

c/a = −3 ± √8.

Так как c²/a² = q², то

q² = (−3 ± √8)².

Числа а², b² и с², образующие геометрическую прогрессию, положительны. Следовательно, q > 0. Таким образом, из последнего уравнения

q2,3 = 3 + √8.

Ответ. 3 − √8; 1; −3 + √8.

19.16. При n = 1 формулы верны:

Предположим, что эти формулы верны для n = k, и докажем, что они верны для n = k + 1:

Так как  то предел последовательности равен a + ⅔(b − a) = a + 2b/3.

Ответ. a + 2b/3.

19.17. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

(8a − 3)x + (14a + 5)x = 2kπ, (14a + 5)x − (8a − 3)x = 2nπ,

или

(11a + 1)x = kπ, (3a + 4)x = nπ.

Так как по условию a > 0, то 11a + 1 ≠ 0 и 3a + 4 ≠ 0. Поэтому

xk = kπ/11a + 1, xn = nπ/3a + 4.

Значения xk и xn при k, n = 0, 1, 2, ... (по условию x ≥ 0) образуют две прогрессии с разностями

d1 = π/11a + 1, d2 = π/3a + 4

и первыми членами, равными нулю. Числа xk и xn, расположенные в порядке возрастания, составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда их разности кратны, т. е. либо d2 = d1m при d1 ≤ d2, либо d1 = d2m при d2 ≤ d1 (m — натуральное число). Пусть, например, d1 ≤ d2. Тогда d1 — второй член новой прогрессии (первый ее член равен нулю) и d1 — разность этой прогрессии. Однако число d2, являясь членом второй прогрессии, также должно войти в новую прогрессию. Поэтому d2 = 0 + d1m = d1m. Обратно, если d2 = d1m и d1 ≤ d2, то xn = d2n = d1mn, т. е. каждый член второй прогрессии является членом первой прогрессии. Аналогичное доказательство может быть проведено для случая d2 ≤ d1.

Итак, для d1 ≤ d2 имеем

Так как m — натуральное, то 4m − 1 > 0. В свою очередь а > 0, а потому 11 − 3m > 0 и m < 11/3. Получаем три возможных значения m — 1, 2, 3 и соответствующие им значения а = 3/8, 7/5, 11/2.

Для d2 ≤ d1 получим

При натуральном m разность 11m − 3 положительна, а так как а > 0, то 4 − m > 0 или m < 4. Каждому из трех возможных значений m = 1, 2, 3 будет соответствовать свое значение а = 3/8, 2/19, 1/30.

Ответ. 1/30, 2/19, 3/8, 7/5, 11/2.

Глава 20

Суммирование

20.1. Докажем, что

S = ½ + ... + 1/n² < 1.

Так как

1/(1 + k)² < 1/k(1 + k),

то

При доказательстве мы воспользовались тем, что

1/(n − 1)n = 1/n − 1 − 1/n.

Такой прием часто применяется и называется разложением дроби на простейшие.

20.2. Так как

то

Ответ. n − 1/d²n.

20.3. Представим k−e слагаемое в виде

Тогда

Ответ.