Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин

После преобразований получим

Обобщим все рассмотренные варианты. Условиям удовлетворяют два интервала значений v, проекции которых в плоскости (u, v) на прямую u = 2 не пересекаются:

v ∈ (−3, −2) ∪ (−1, 1).

Когда мы вернемся к переменным x и y, ситуация не изменится, так как замена

не ведет к изменению расстояний между соответственными точками в старой и новой системе координат.

Основная трудность этой задачи состояла в том, что исследование пришлось вести одновременно в двух плоскостях (u, f(u)) и (u, v). К тому же, в конечном счете, нас интересует третья плоскость (x, y).

Ответ. 2.

17.10. Если x1 и x2 — целочисленные корни данного уравнения, то x1 + x2 = а + 3, откуда следует, что а = x1 + x2 − 3 — целое число. Корни данного уравнения равны

отсюда

т. е.  — целое число. Тогда

а² −2a + 1 = п² + 20, т. е. (а − 1)² − п² = 20,

или

(а − n − 1)(а + n − 1) = 20.

Остается рассмотреть варианты, когда каждая из скобок равна целочисленным множителям числа 20. Начнем со случая

Сложив эти два уравнения, получим уравнение

2a − 2 = 21,

не имеющее целочисленных решений.

Можно сделать более общий вывод: если в правой части других пар уравнений типа (20) и (21) есть один нечетный множитель числа 20, то целочисленных решений y системы аналогичной (20), (21) нет. Остается рассмотреть только случаи

Нетрудно убедиться, что первая и вторая системы приводят к одному значению а = 7, а третья и четвертая — к значению а = −5.

При а = 7 имеем x1 = 3, x2 = 7.

При а = −5 получим x1 = −3, x2 = 1.

Ответ. −5; 7.

17.11. Обозначим x² = y, где y ≥ 0. Получим квадратное уравнение

y² − (1 − 2a)y + а² − 1 = 0, (22)

дискриминант которого D = 5 − 4a.

Если 5 − 4a < 0, т. е. а > 5/4, решений нет.

Если 5 − 4a = 0, т. е. а = 5/4, получим уравнение

y² + 3/2y + 9/16 = 0

с единственным корнем y = −¾. Однако y ≥ 0 и потому решений тоже нет.

Пусть теперь а < 5/4 и D > 0. Тогда уравнение (22) имеет корни:

Рассмотрим сначала случаи, когда один из этих корней равен нулю, т. е.

При а = −1 получим уравнение

y² − 3y = 0, т. е. y1 = 0, y2 = 3.

Поэтому при а = −1 исходное уравнение имеет три корня 0; −√3; √3.

При а = 1 получим

y² + y = 0,   т. е.   y1 = 0, y2 = −1.

Поскольку y ≥ 0, то при а = 1 остается одно решение x = 0.

Теперь осталось рассмотреть два случая:

y1 > 0 и y2 > 0.

В первом случае нужно решить неравенство

Оно равносильно системе

0 < 5 − 4a < (1 − 2a)²

(слева строгое неравенство, так как имеет место условие а < 5/4), т. е.

0 < 5 − 4a < 1 − 4a + 4a².

Правое неравенство дает нам а² > 1. Таким образом, для y1 > 0 получим

а < −1, 1 < а < 5/4.

Для y2 > 0 получим

Если 2a − 1 < 0, т. е. а < ½, то условие а < 5/4 соблюдается. Поэтому при а < ½ получим, что у2 > 0. Если же 2a − 1 ≥ 0, т. е. а > ½, то учтем условие а < 5/4. Возведя неравенство в квадрат, получим а² < 1, т. е. во втором случае (а ≥ ½) получим ½ ≤ а < 1. Окончательно у2 > 0 при а < 1.

Объединим решения для y1 > 0 и у2 > 0, нанеся их на числовую прямую, учтем результат, полученный для а = 5/4 (рис. P.17.11).

Ответ. При а < −1 уравнение относительно x имеет четыре решения. При а = −1 y него три решения, при −1 < а < 1 два решения, при а = 1 одно решение, при 1 < а < 5/4 два решения, при а ≥ 5/4 решений нет.

17.12. Пусть sin 4x = y. Тогда данное уравнение преобразуется в квадратное

(a + 3)y² + (2a − 1)y + (a − 2) = 0,   (23)

где

|y| ≤ 1.   (24)

Уравнение (23) имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, т. е.

D = (2a − 1)² − 4(a + 3)(a − 2) = 25 − 8a ≥ 0.    (25)

Кроме того, нужно обеспечить, чтобы по крайней мере один из корней t1 или t2 уравнения (24) не превосходил по абсолютной величине 1.

Пусть сначала D = 0, т. е. а = 25/8. Тогда

Условие (24), как мы видим, соблюдается, и уравнение sin 4x = −3/7 имеет решение.

Уравнение sin z = −3/7 на отрезке [−π, π] имеет ровно два решения z1 и z2. Если осуществить замену переменной: z = 4x, то отрезок [−π, π] сузится для новой переменной x в четыре раза к началу отсчета и станет отрезком [−π/4, π/4]. Поэтому на отрезке [−π, π] для переменной x разместятся уже не 2, а 8 решений (в силу того, что sin z имеет период 2π, а sin 4x имеет период π/2). Итак, а = 25/8 — одно из искомых нами значений параметра а.

Пусть теперь D > 0, т. е. а < 25/8. Тогда уравнение (23) имеет два действительных решения y1 и y2, такие, что y1 < y2. Если оба значения y1 и y2 попадают внутрь интервала (−1, 1), то каждому значению синуса будут соответствовать два значения переменной z в интервале (−π, π) и восемь значений переменной x = z/4 в том же интервале. Решений будет ровно 8, если одно решение уравнения лежит в (−1, 1), а другое — вне этого интервала (случаи, когда y = ±1 будут рассмотрены отдельно). Конечно, можно перебрать все возможные варианты расположения y1 и y2 относительно интервала (−1, 1). Но это хлопотно и поэтому задачу следует упростить. Нас интересуют все случаи, когда один корень параболы, определяемой левой частью уравнения (23), внутри интервала (−1, 1), а другой вне этого интервала, т. е. парабола

f(y) = (а + 3)y² + (2a − 1)y + (а − 2)    (26)

пересекает интервал (−1, 1) в одной и только в одной точке. Это условие равносильно такому

f(−1)f(1) < 0,    (27)

т. е. на концах интервала (−1, 1) парабола имеет противоположные знаки. Подставим в (27) значения y = −1 и y = 1. После преобразований получим

а < 0.

При этом условии удовлетворяется и требование D > 0, т. е. требование а < 25/8. Итак, все значения а ∈ (−∞, 0) удовлетворяют условиям задачи, как и найденное ранее значение а = 25/8. Мы не рассмотрели только случаи, когда корни уравнения (23) равны −1 и 1.

Начнем со случая y1 = −1, y2 = 1, т. е. f(−1) = f(1) = 0.

Так как f(−1) = 2, f(1) = 4a, то этот случай невозможен. Невозможен и случай, когда f(−1) = 0, так как f(−1) = 2. Остается последняя возможность: f(1) = 0. Но f(1) = 4a . Поэтому а = 0. Уравнение (23) примет вид

3y² − y − 2 = 0.    (28)

Уравнение (28) имеет два корня:

у1 = −⅔ и y2 = 1.